写在前面

本篇博客主要用于本人的ICPC比赛用模板整理,方便查阅。

如有网友发现哪里写的不好、哪里可以改进,欢迎提出。

持续更新中…

常用C++STL(模板)合集

注意:C++STL全部需要使用命名空间std

万能(误)算法头文件(部分)

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#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
iterator begin, end; // 指代某种数据结构首尾迭代器
T i, x, a, b;

sort(begin, end, <cmp>); // 排序函数,默认从小到大
// 遇到需要特殊排序的需要编写cmp函数 or 重载内部运算符
next_permutation(begin, end); // 下一个排列
prev_permutation(begin, end); // 前一个排列

set_union(begin(a), end(a), begin(b), end(b), begin(c));
// 取两个有序序列a、b的并集,存放到c中
set_intersection(begin(a), end(a), begin(b), end(b), begin(c));
// 取两个有序序列a、b的交集,存放到c中
set_difference(begin(a), end(a), begin(b), end(b), begin(c));
// 取两个有序序列a、b的差集,存放到c中
unique(begin, end); // 有序数据去重
merge(begin(a), end(a), begin(b), end(b), begin(c), cmp);
// 合并两个有序序列a、b,存放到c中,cmp可定义新序列排列方式

lower_bound(begin, end, x); // 返回x的前驱迭代器
// 在普通的升序序列中,x的前驱指的是第一个大于等于x的值
upper_bound(begin, end, x); // 返回x的后继迭代器
// 在普通的升序序列中,x的后继指的是第一个大于x的值
// 上述两个函数时间复杂度为O(log2(n)),内部实现是二分
// 如果找不到这样的值,会返回end

find(begin, end, x); // O(n)查找x
binary_search(begin, end, x) // 二分查找x,返回bool
min(a, b); max(a, b); // 返回a、b中的最小/最大值
fill(begin, end, x); // 往容器的[begin, end)内填充x
swap(a, b); // 交换a、b的值

return 0;
}

动态数组(vector)、双向链表(list)

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#include <vector>
#include <list>
using namespace std;
int main() {
T i;
unsigned int n, x;
bool flag;
iterator it;

// 动态数组部分
// 注意vector的空间需要预留两倍大小
vector<T> v;
v.push_back(i); // 往数组尾添加一个元素i
v[x]; // 访问第x - 1个元素
v.begin(); // 返回头元素的迭代器
v.end(); // 返回末尾迭代器(尾元素的下一个)
n = v.size(); // 数组中元素数量
v.pop_back(); // 删除最后一个元素
v.erase(it); // 删除某个的元素
v.insert(x, i); // 在x位置插入元素i
// erase、insert时间复杂度为O(n)
v.clear(); // 清空数组,不释放空间
flag = v.empty(); // 判断数组是否为空(真值)

// 链表部分
list<T> li;
li.push_front(i); // 在链头添加一个元素i
li.push_back(i); // 在链尾添加一个元素i
li.pop_front(i); // 删除链表头元素
li.pop_back(i); // 删除链表尾元素
li.erase(it); // 删除某个的元素
li.insert(x, i); // 在x位置插入元素i O(n)
li.begin(); // 返回头元素的迭代器
li.end(); // 返回末尾迭代器(尾元素的下一个)
n = li.size(); // 链表中元素数量
li.remove(i); // 删除链表中所有值为i的元素
li.unique(); // 移除所有连续相同元素,留下一个
li.reverse(); // 反转链表
li.clear(); // 情况链表,不释放空间

return 0;
}

普通队列、双端队列、优先队列

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#include <queue> // 队列头文件
#include <deque> // 双端队列头文件
using namespace std;
int main() {
T i;
unsigned int n, x;
bool flag;

// 普通队列部分,注意queue没有迭代器
queue<T> q, tmp_q; // 定义普通队列
q.push(i); // 队尾插入元素i
q.pop(); // 弹出队首元素
i = q.front(); // 访问队首元素
i = q.back(); // 访问队尾元素
n = q,size(); // 队内元素数量
flag = q.empty(); // 判断队列是否为空(真值)
q.swap(tmp_q); // 交换两个队列元素

// 优先队列部分,注意其没有迭代器
priority_queue<T> pq; // 定义优先队列
pq.push(i); // 队尾插入元素i
pq.pop(); // 弹出队首元素
i = pq.top(); // 访问队首元素
n = q,size(); // 队内元素数量
flag = q.empty(); // 判断队列是否为空(真值)
q.swap(tmp_q); // 交换两个队列元素
// 注意优先队列内部是使用<运算符,默认大根堆
// 可以采用重载运算符或加入运算符类自定义排列方式
// 例:priority_queue<T, vector<T>, greater<T> > 小根堆
/*
struct node {
int x, y;
};
bool operator < (node a, node b) {
// 这里注意是<右边的元素会放在前面
if(a.x != b.x) return a.x < b.x;
else return a.y < b.y;
}
priority_queue<node>
*/

// 双端队列部分
// 注意deque用到了map来映射,时间复杂度上常数略大
deque<T> dq; // 定义双端队列
// 可以称为vector、list、queue的结合体
// 用法类似,这里只给代码不做注释
dq.push_back(i);
dq.push_front(i);
dq.front();
dq.back();
dq.pop_front();
dq.pop_back();
dq.begin();
dq.end();
dq[x];
n = dq.size();
flag = dq.empty();
dq.insert(x, i);

return 0;
}

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#include <stack>
using namespace std;
int main() {
T i;
unsigned int n;
bool flag;

stack<T> st; // 注意stack没有迭代器
st.push(i); // 往栈顶加入一个元素
st.pop(); // 弹出栈顶元素
i = st.top(); // 获得栈顶元素的值
flag = st.empty(); // 判断是否为空(真值)
n = st.size(); // 获得栈内元素个数

return 0;
}

pair(成组)、set(有序元素序列)

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#include <set>
#include <pair>
using namespace std;
int main() {
T i;
T1 t1;
T2 t2;
iterator it;
unsigned int n;
bool flag;

// pair是将两种元素组成一对
pair<T1, T2> p;
p = make_pair(t1, t2); // 将t1、t2构造成一对
// pair支持比较,遵循字典序
p.first; // 访问第一个元素,这里是t1
p.second; // 访问第二个元素,这里是t2

// set内部是RB-tree维护
set<int> st; // 注意,set内元素不重复
st.insert(i); // 往set内插入一个元素i
// 时间复杂度O(log2(n)) 这里会返回一个<pair>迭代器
// first指向插入元素后所在的迭代器
// second指向是否插入成功(真值)
st.begin(); // 返回首迭代器
st.end(); // 范围尾迭代器
st.erase(it); st.erase(i);
// 删除某个元素
st.equal_range(i); // 返回几何中与i相等的上下限两个迭代器
flag = st.empty();
n = st.size();
st.clear();
// set内置了lower_bound和upeer_bound函数
// 用法和algorithm的一样

// 可重复元素set
multiset<int> mst;
// 用法与set大致相同
// 唯一不同只在删除函数上
mst.erase(i); // 会删除所有值为i的元素

return 0;
}
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// 如果需要给set自定义排序顺序
struct CMP {
bool operator() (const int& a, const int& b) const {
return a > b; // 返回真值则代表左边的值优先级高
}
};
multiset<int, CMP> mst;

map(映射)

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#include <map>
using namespace std;
int main() {
T1 t1;
T2 t2;

// map将两种元素做映射,一种指向另一种
// 内部也是RB-tree维护
map<T1, T2> mp;
mp[t1] = t2; // 直接让t1对应到t2
mp[t1]; // 访问t1对应的内容,时间复杂度O(log2(n))
// 如果t1没有指向任何内容,则会返回T2类型的初始值

return 0;
}

一些C++的功能/特性

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#include <bits/stdc++.h> // 标准库头文件
using namespace std;
int main() {

__int128 a; // 128位整数,最大值大概10^38次方
// C++11以上可用,无法用标准方法读入

cin.tie(0); cout.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
// 关闭cin、cout同步流,此举后不可混用scanf/printf

auto x; // 自动变量,可以是任意属性
// 举个例子
std::set<int> st;
std::for(auto i:st); // C++版for_each
// 其中i是auto变量,也可改成set<int>::iterator

// 所有的STL容器push/insert操作都可替换为emplcace
// 速度上减小常数(不用临时变量)
// 例:
int i;
std::set<int> st;
st.emplace(i);
std::vector<int> vc;
vc.emplace_back(i);

return 0;
}

强大的pb_ds库

这部分并不是标准库STL,是扩展模板库。

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#include <bits/stdc++.h>
#include <bits/extc++.h> // 扩展库头文件
/*
* 这里如果没有bits/extc++.h的话需要
* ext/pb_ds/tree_policy.hpp
* ext/pb_ds/assoc_container.hpp
* ext/pb_ds/priority_queue_policy.hpp
* ext/pb_ds/trie_policy.hpp
* ext/rope
* ...
*/
using namespace __gnu_pbds;
using namespace __gnu_cxx;
int main() {

// 哈希表部分,用法与map一样,效率在C++11以下效率高
// 注意,这部分在namespace __gnu_pbds下
cc_hash_table<string, int> mp1; // 拉链法
gp_hash_table<string, int> mp2; // 查探法(快一些)

// 优先队列部分,比STL中高级
priority_queue<int, std::greater<int>, TAG> pq;
/*
* 第一个参数是数据类型
* 第二个是排序方式
* 第三个是堆的类型
* 其中堆的类型有下面几种
* pairing_heap_tag
* thin_heap_tag
* binomial_heap_tag
* c_binomial_heap_tag
* binary_heap_tag
* 其中pairing_heap_tag最快
* 并且这个东西是带默认参数的,只需要定义一个int
*/
// 比STL中的优先队列多了join和迭代器
// 例子:
priority_queue<int> pq1, pq2;
pq1.join(pq2); // 会将pq2合并到pq1上
pq1.begin(); pq1.end(); // 可遍历

// 红黑树(平衡树)部分,与set相似,但更快
tree <
int,
null_type,
std::less<>,
rb_tree_tag,
tree_order_statistics_node_update
> t, tre;
/*
* int 关键字类型
* null_type 无映射(低版本g++为null_mapped_type)
* less<int> 从小到大排序
* rb_tree_tag 红黑树(splay_tree_tag splay)
* tree_order_statistics_node_update 结点更新
*/
int i, k;
t.insert(i); // 插入
t.erase(i); // 删除
t.order_of_key(i);
// 询问这个tree中有多少个比i小的元素
t.find_by_order(k);
// 找第k + 1小的元素的迭代器,如果order太大会返回end()
t.join(tre); // tre合并到t上
t.split(i, tre); // 小于等于i的保留,其余的属于tre
// 基本操作有size()/empty()/begin()/end()等
// 同样内置lower_bound/upper_bound

// 可持久化平衡树部分
// 注意,这部分在namespace __gun_cxx下
rope<char> str;
// 待我学习完后再更新

return 0;
}

数据结构部分

单调队列

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// 待更新

单调栈

可以O(n)O(n)地解决一些区间长度与区间最值关系问题。

例如:求nn个数中max[L,R]n{mini[L,R]{ai}(RL+1)}\displaystyle\max_{[L, R] \in n}\{\min_{i\in[L, R]}\{a_i\} \cdot (R-L+1)\}

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#define ll long long
const int MAX_N = 2e6 + 10;

struct data {
ll a, id;
}a[MAX_N];

stack<data> st;

int main() {
ll n, ans = 0;
data last;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &a[i].a);
a[i].id = i;
if(st.empty()) st.push(a[i]);
else {
while(!st.empty() && st.top().a > a[i].a) {
last = st.top();
st.pop();
if(st.empty())
ans = max((i - 1) * last.a, ans);
else ans = max((i - st.top().id - 1) * last.a, ans);
} st.push(a[i]);
}
}
while(!st.empty()) {
last = st.top();
st.pop();
if(st.empty()) ans = max(n * last.a, ans);
else ans = max((n - st.top().id) * last.a, ans);
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}

归并排序、逆序对数

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// 归并排(升)序,p为逆序对数
#define mm (l + r) >> 1
#define lson l, mid
#define rson mid + 1, r
const int MAX_N = 1e5 + 10;
int a[MAX_N], tmp[MAX_N];
void m_sort(int l, int r, int &p) {
if(l == r) return ;
int mid = mm;
m_sort(lson, p), m_sort(rson, p);
int i = l, j = mid + 1, k = l;
while(i <= mid && j <= r) {
if(a[i] <= a[j])
tmp[k++] = a[i++];
else {
tmp[k++] = a[j++];
p += mid - i + 1;
}
}
while(i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
while(j <= r) tmp[k++] = a[j++];
for(i = l; i <= r; ++i) a[i] = tmp[i];
}
/*
* 逆序数的应用
* 1.假设序列中任意相邻数可以交换,逆序对数是让序列升序的最少交换次数
* 2.设f[n][m]代表逆序对数为m的n元排列个数,则有
* f[n + 1][m] = f[n][m] + f[n][m - 1] + …… + f[n][m - n]
* 化简得f[n + 1][m] = f[n][m] + f[n + 1][m - 1]
*/

线段树/树状数组

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define lowbit(x) (x & -x)
#define mm (l + r) >> 1
#define lson l, mid, p << 1 // 左儿子
#define rson mid + 1, r, p << 1|1 // 右儿子
const int MAX_N = 200000 + 10; // 数量大小

ll sum[MAX_N], tree[MAX_N << 2], lazy[MAX_N << 2], a[MAX_N];

inline void push_up(int p) {
tree[p] = tree[p << 1] + tree[p << 1|1];
}

inline void push_down(int l, int r, int p) {
if(lazy[p]) {
int mid = mm;
// 如果当前区间有lazy标记,则需要下放
tree[p << 1] += (mid - l + 1) * lazy[p];
tree[p << 1|1] += (r - mid) * lazy[p];
// 先更新两个儿子节点的值
lazy[p << 1] += lazy[p];
lazy[p << 1|1] += lazy[p];
// 标记下放到两个儿子节点
lazy[p] = 0; // 当前节点标记取消
}
}

void build(int l, int r, int p) {
if(l == r) {
tree[p] = a[l]; // 叶子节点信息
lazy[p] = 0;
return ;
}
int mid = mm;
build(lson), build(rson); // 分别往左往右
push_up(p); // 将儿子节点信息上传
}

ll query(int l, int r, int p, int L, int R) {
if(L <= l && r <= R) return tree[p];
// 区间包含则返回该节点所有信息
int mid = mm;
ll ret = 0; // ret用来保存信息
push_down(l, r, p); // 标记下放
if(L <= mid) ret += query(l, mid, p << 1, L, R);
// 取左区间的部分信息
if(R > mid) ret += query(mid + 1, r, p << 1|1, L, R);
// 取右区间的部分信息
return ret; // 将以上结果返回
}

void update(int l, int r, int p, int L, int R, int s) {
if(L <= l && r <= R) {
// 如果当前访问区间被要访问的区间所包含
tree[p] += (r - l + 1) * s;
// 首先更新当前节点的值
lazy[p] += s; // 打上lazy标签
return ;
}
int mid = mm;
push_down(l, r, p); // 标记下放
if(L <= mid) update(l, mid, p << 1, L, R, s);
// L <= mid 说明需要更新左区间
if(R > mid) update(mid + 1, r, p << 1 | 1, L, R, s);
// R > mid 说明需要更新右区间
tree[p] = tree[p << 1] + tree[p << 1|1];
// 别忘了要更新 p 节点的信息哦~
}

ll ask(int x) {
ll ret = 0;
for(; x; x -= lowbit(x)) ret += sum[x];
return ret;
}
ll get_sum(int l, int r) {
// 询问区间[l, r]的和
return ask(r) - ask(l - 1);
}
void change(int n, int x, ll s) {
// 给x位置上的值加上s
for(; x <= n; x += lowbit(x))
sum[x] += s;
}

可持久化线段树(主席树)

主席树本质上是n棵权值线段树,本质上不可修改,套上树状数组后可以支持单点修改(待更新)

朴素版本

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// 代码是求区间第k小的值
// 大部分情况需要离散化
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mm (l + r) >> 1
#define lson l, mid
#define rson mid + 1, r
const int MAX_N = (int)1e5 + 10;

struct node {
int ls, rs; // 用来存左右儿子下标
ll sum; // 数字和
}tree[MAX_N * 40];

int rt[MAX_N], CNT, a[MAX_N], p[MAX_N];
vector<int> vt;
// re是各版本线段树根节点下标 CNT是新建节点下标
// a是原数组,p是离散化后对应下标

int disc(int n) { // 离散化
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
vt.push_back(a[i]);
sort(vt.begin(), vt.end());
unique(vt.begin(), vt.end());
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
p[i] = lower_bound(vt.begin(), vt.end(), a[i]) - vt.begin() + 1;
}

int build(int l, int r) {
// 建立空树
int pos = ++ CNT;
if(l == r) return pos;
int mid = mm;
tree[pos].ls = build(lson); // 往左建树
tree[pos].rs = build(rson); // 往右建树
return pos;
}

inline void push_up(int pos) {
tree[pos].sum = tree[ tree[pos].ls ].sum + tree[ tree[pos].rs ].sum;
}

int update(int last, int l, int r, int k) {
// 更新第k点的值
int pos = ++ CNT;
if(l == r) {
tree[pos].sum = tree[last].sum + 1;
return pos;
}
int mid = mm;
tree[pos].ls = tree[last].ls, tree[pos].rs = tree[last].rs;
if(k <= mid)
tree[pos].ls = update(tree[last].ls, lson, k);
else
tree[pos].rs = update(tree[last].rs, rson, k);
push_up(pos);
return pos;
}


int query(int posL, int posR, int l, int r, int k) {
if(l == r) return l;
int cnt = (int)(tree[ tree[posR].ls ].sum - tree[ tree[posL].ls ].sum);
int mid = mm;
if(k <= cnt) return query(tree[posL].ls, tree[posR].ls, lson, k);
else return query(tree[posL].rs, tree[posR].rs, rson, k - cnt);
}

void init(int n) {
CNT = 0;
build(1, n);
for(int i = 1; i <= n*40; ++ i)
tree[i].sum = tree[i].ls = tree[i].rs = 0;
vt.clear();
}

int main() {
int n, q, i, l, r, k;

while(~ scanf("%d %d", &n, &q)) {
init(n); // 初始化
for(i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &a[i]);
disc(n);
for(i = 1; i <= n; ++ i)
rt[i] = update(rt[i - 1], 1, n, p[i]);
while(q --) {
scanf("%d %d %d", &l, &r, &k);
printf("%d\n", vt[query(rt[l - 1], rt[r], 1, n, k) - 1]);
}
}

return 0;
}

简约版本

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// 简写主席树模板,没有建初始树过程
// 可以不要离散化,要注意空间
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5 + 10;
#define ll long long
#define mm (l + r) >> 1
#define lson l, mid
#define rson mid + 1, r
struct node {
int ls, rs; // 用来存左右儿子下标
int sum; // 数字个数和
void copy(const node tmp) {
ls = tmp.ls;
rs = tmp.rs;
sum = tmp.sum;
}
}tree[MAX_N * 40];
int CNT, rt[MAX_N];
ll a[MAX_N];

void init(int n) {
CNT = 0;
for(int i = 1; i <= n*40; ++i)
tree[i].sum = tree[i].ls = tree[i].rs = 0;
for(int i = 0; i <= n; ++i) rt[i] = 0;
}

inline void push_up(int pos) {
tree[pos].sum = tree[ tree[pos].ls ].sum + tree[ tree[pos].rs ].sum;
}

void update(int &pos, int pre, ll l, ll r, ll val) {
pos = ++CNT;
tree[pos].copy(tree[pre]);
if(l == r) {
++tree[pos].sum;
return;
}
ll mid = mm;
if(val <= mid) update(tree[pos].ls, tree[pre].ls, lson, val);
else update(tree[pos].rs, tree[pre].rs, rson, val);
push_up(pos);
}

int query(int posL, int posR, ll l, ll r, int val) {
if(l == r) return l;
int cnt = (int)(tree[ tree[posR].ls ].sum - tree[ tree[posL].ls ].sum);
ll mid = mm;
if(val <= cnt) return query(tree[posL].ls, tree[posR].ls, lson, val);
else return query(tree[posL].rs, tree[posR].rs, rson, val - cnt);
}

归并树(划分树)

本质上是把归并排序和二叉树思想结合,可以解决部分主席树可以解决的东西,但不能回滚和修改。

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// 求区间第k小
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mm (l + r) >> 1
#define lson l, mid, dep + 1
#define rson mid + 1, r, dep + 1
const int MAX_N = 1e5 + 10;

int a[MAX_N], tree[32][MAX_N];

void build(int l, int r, int dep) {
if(l > r) return ;
if(l == r) {
tree[dep][l] = a[l];
return ;
}
int mid = mm, i = l, j = mid + 1, k = l;
build(lson), build(rson);
while(i <= mid && j <= r) {
if(tree[dep + 1][i] <= tree[dep + 1][j])
tree[dep][k ++] = tree[dep + 1][i ++];
else
tree[dep][k ++] = tree[dep + 1][j ++];
}
while(i <= mid)
tree[dep][k ++] = tree[dep + 1][i ++];
while(j <= r)
tree[dep][k ++] = tree[dep + 1][j ++];
return ;
}

int query(int l, int r, int dep, int ql, int qr, int key) {
if(qr < l || r < ql) return 0;
if(ql <= l && r <= qr)
return lower_bound(&tree[dep][l], &tree[dep][r] + 1, key) - &tree[dep][l];
int mid = mm, ret = 0;
if(qr > mid) ret += query(rson, ql, qr, key);
if(ql <= mid) ret += query(lson, ql, qr, key);
return ret;
}

int main() {
int n, m, i, ql, qr, k, l, r, mid, tot;
while(~scanf("%d %d", &n, &m)) {
for(i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", &a[i]);
build(1, n, 1);
while(m --) {
scanf("%d %d %d", &ql, &qr, &k);
l = 1, r = n + 1, mid = mm;
while(l + 1 < r) {
mid = mm;
tot = query(1, n, 1, ql, qr, tree[1][mid]);
if(tot <= k - 1) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%d\n", tree[1][l]);
}
}
return 0;
}

ST表(倍增)求区间最值

一维

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// 一维区间求最大值
const int MAX_N = 1e5 + 10;
int dp[MAX_N][20], vm[MAX_N];
/*
需要改成存最小(大)值下标,可以增加下列函数
int Min(int x, int y) {
return val[x] <= val[y] ? x : y;
}
*/
void init_RMQ(int n, int b[]) {
vm[0] = -1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
vm[i] = ((i & (i-1)) == 0) ? vm[i - 1]+1 : vm[i - 1];
dp[i][0] = b[i];
}
for(int j = 1; j <= vm[n]; ++j)
for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; ++i)
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1<<(j-1)) ][j - 1]);
}
int RMQ(int l, int r) {
int k = vm[r - l + 1];
return max(dp[l][k], dp[r - (1<<k) + 1][k]);
}

二维

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38
// 二维RMQ,预处理复杂度O(n * m * log2(n) * log2(m))
const int MAX_N = 310;
int val[MAX_N][MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_N][9][9];
int vm[MAX_N]; // 二进制位数-1,使用前需初始化

void init_VM() {
vm[0] = -1;
for(int i = 1; i < MAX_N; ++i)
vm[i] = ((i & (i-1)) == 0) ? vm[i - 1]+1 : vm[i - 1];
}

void init_RMQ(int n, int m) {
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
dp[i][j][0][0] = val[i][j];
for(int ii = 0; ii <= vm[n]; ++ii)
for(int jj = 0; jj <= vm[m]; ++jj)
if(ii + jj)
for(int i = 1; i + (1<<ii) - 1 <= n; ++i)
for(int j = 1; j + (1<<jj) - 1 <= m; ++j) {
if(ii) dp[i][j][ii][jj] = max(dp[i][j][ii - 1][jj],
dp[i + (1<<(ii-1)) ][j][ii - 1][jj]);
else dp[i][j][ii][jj] = max(dp[i][j][ii][jj - 1],
dp[i][j + (1<<(jj-1)) ][ii][jj - 1]);
}
}

int RMQ(int x1, int y1, int x2, int y2) {
// 求子矩阵最大值
int k1 = vm[x2 - x1 + 1];
int k2 = vm[y2 - y1 + 1];
x2 = x2 - (1<<k1) + 1;
y2 = y2 - (1<<k2) + 1;
return max( max(dp[x1][y1][k1][k2], dp[x1][y2][k1][k2]),
max(dp[x2][y1][k1][k2], dp[x2][y2][k1][k2]) );
}

字典树

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63
64
65
// k叉字典树,空间占用较大
struct Kx_Trie {
static const int MAX_N = 1010; // 节点数
static const int MAX_M = 26; // 字符数
static const int Tfirst = 'a'; // 第一个字符

int CNT;
struct node {
int son[MAX_M], sum; // sum是前缀数量
bool flag; // true代表这是个完整的单词
char c;
void init() {
sum = flag = c = 0;
memset(son, 0, sizeof(son));
}
}tree[MAX_N];

void init() {
CNT = 0;
tree[0].init();
}

void insert(char* str) {
int rt, nxt;
for(rt = 0; *str; rt = nxt, ++str) {
nxt = tree[rt].son[*str - Tfirst];
if(nxt == 0) {
nxt = tree[rt].son[*str - Tfirst] = ++CNT;
tree[CNT].init();
tree[CNT].c = *str;
}
++tree[nxt].sum;
} tree[rt].flag = true;
}

void erase(char* str) {
// 假设已经插入str
int rt = 0;
for(; *str; ++str) {
--tree[rt].sum;
rt = tree[rt].son[*str - Tfirst];
}
--tree[rt].sum;
tree[rt].flag = false;
}

bool search(char* str) {
// 查询是否有这个单词
int rt = 0;
for(; *str; ++str) {
rt = tree[rt].son[*str - Tfirst];
if(!rt) return false;
}
return tree[rt].flag;
}

int prefix(char *str) {
int rt, len;
for(rt = len = 0; *str; ++str, ++len) {
rt = tree[rt].son[*str - Tfirst];
if(!rt || !tree[rt].sum) break ;
}
return len;
}
};
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69
70
// 左孩子右兄弟字典树,时间换空间
struct Ls_Rb_Trie {
static const int MAX_N = 1010; // 节点数
int top;
struct node {
char c;
int l, r, sum;
bool flag;
void init() {
l = r = sum = flag = c = 0;
}
}tree[MAX_N];

void init() {
top = 0;
memset(tree, 0, sizeof(tree));
}

bool search(char* str) {
int rt;
for(rt = 0; *str; ++str) {
for(rt = tree[rt].l; rt; rt = tree[rt].r) {
if(tree[rt].c == *str) break ;
}
if(!rt || !tree[rt].sum) return false;
}
return tree[rt].flag;
}

void insert(char* str) {
int i, rt;
for(rt = 0; *str; ++str, rt = i) {
for(i = tree[rt].l; i; i = tree[i].r)
if(tree[i].c == *str)
break ;
if(i == 0) {
tree[rt].l = i = ++top;
tree[top].init();
tree[top].r = tree[rt].l;
tree[top].c = *str;
}
++tree[i].sum;
}
tree[rt].flag = true;
}

void erase(char* str) {
int rt;
for(rt = 0; *str; ++str) {
for(rt = tree[rt].l; rt; rt = tree[rt].r) {
if(tree[rt].c == *str)
break;
}
--tree[rt].sum;
}
tree[rt].flag = 0;
}

int prefix(char* str) {
// 最长前缀,
int rt = 0, lv;
for(lv = 0; *str; ++str, ++lv) {
for(rt = tree[rt].l; rt; rt = tree[rt].r)
if(tree[rt].c == *str)
break ;
if(rt == 0 || !tree[rt].sum) break ;
}
return lv;
}
};

树链剖分

点权

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126
127
128
129
130
131
// 查询单点值,修改路径上的点权,HDU3966
const int MAX_N = 5e4 + 10;
struct node {
int to, go;
}edge[MAX_N << 1];
int head[MAX_N], tot, pos;
int top[MAX_N]; // top[v]表示v所在重链的顶端节点
int fa[MAX_N]; // 父亲节点
int deep[MAX_N]; // 深度
int num[MAX_N]; // num[v]表示v为根的子树节点数量
int p[MAX_N]; // p[v]表示v对应的位置
int fp[MAX_N]; // fp和p数组相反
int son[MAX_N]; // 重儿子

void init() {
tot = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
pos = 1; // 树状数组编号
memset(son, -1, sizeof(son));
}

void add_edge(int u, int v) {
edge[tot].to = v, edge[tot].go = head[u], head[u] = tot++;
}

void dfs(int u, int pre, int dep) {
deep[u] = dep;
fa[u] = pre;
num[u] = 1;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
int v = edge[i].to;
if(v != pre) {
dfs(v, u, dep+1);
num[u] += num[v];
if(son[u] == -1 || num[v] > num[son[u]])
son[u] = v;
}
}
}

void get_pos(int u, int sp) {
top[u] = sp;
p[u] = pos++;
fp[p[u]] = u;
if(son[u] == -1) return ;
get_pos(son[u], sp);
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
int v = edge[i].to;
if(v != son[u] && v != fa[u])
get_pos(v, v);
}
}

// 树状数组部分
int c[MAX_N];
int n;

inline int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}

int get_sum(int i) {
int s = 0;
while(i > 0) {
s += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return s;
}

void add(int i, int val) {
while(i <= n) {
c[i] += val;
i += lowbit(i);
}
}

// u->v路径上的点值改变为val
void update(int u, int v, int val) {
int f1 = top[u], f2 = top[v];
while(f1 != f2) {
if(deep[f1] < deep[f2]) {
swap(f1, f2);
swap(u, v);
}
add(p[f1], val);
add(p[u]+1, -val);
u = fa[f1];
f1 = top[u];
}
if(deep[u] > deep[v]) swap(u, v);
add(p[u], val);
add(p[v]+1, -val);
}

int a[MAX_N];

int main() {
int m, q;
while(~ scanf("%d %d %d", &n, &m, &q)) {
int u, v, k;
char op[10];
init();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", &a[i]);
while(m--) {
scanf("%d %d", &u, &v);
add_edge(u, v);
add_edge(v, u);
}
dfs(1, 0, 0);
get_pos(1, 1);
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
add(p[i], a[i]);
add(p[i]+1, -a[i]);
}
while(q--) {
scanf("%s", op);
if(op[0] == 'Q') {
scanf("%d", &u);
printf("%d\n", get_sum(p[u]));
} else {
scanf("%d %d %d", &u, &v, &k);
if(op[0] == 'D') k = -k;
update(u, v, k);
}
}
}
return 0;
}

边权

1
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// 修改单条边,查询路径边权最大值 SPOJ QTREE
#define mm (l + r) >> 1
#define lson l, mid, p << 1
#define rson mid + 1, r, p << 1|1
const int MAX_N = 1e5 + 10;
struct node {
int to, go;
}edge[MAX_N << 1];
int head[MAX_N], tot, pos;
// tot是边表下标,pos是剖分后点个数(1开始)
int top[MAX_N]; // top[v]表示v所在重链的顶端节点
int fa[MAX_N]; // 父亲节点
int deep[MAX_N]; // 深度
int num[MAX_N]; // num[v]表示v为根的子树节点数量
int p[MAX_N]; // p[v]表示v对应的位置
int fp[MAX_N]; // fp和p数组相反
int son[MAX_N]; // 重儿子

void init() {
tot = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
pos = 1;
memset(son, -1, sizeof(son));
}

void add_edge(int u, int v) {
edge[tot].to = v, edge[tot].go = head[u], head[u] = tot++;
}

//第一遍 dfs 求出fa, deep, num, son
void dfs(int u, int pre, int dep) {
deep[u] = dep;
fa[u] = pre;
num[u] = 1;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
int v = edge[i].to;
if(v != pre) {
dfs(v, u, dep+1);
num[u] += num[v];
if(son[u] == -1 || num[v] > num[son[u]])
son[u] = v;
}
}
}

//第二遍 dfs 求出top, p
void get_pos(int u, int sp) {
top[u] = sp;
p[u] = pos++;
fp[p[u]] = u;
if(son[u] == -1) return ;
get_pos(son[u], sp);
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
int v = edge[i].to;
if(v != son[u] && v != fa[u])
get_pos(v, v);
}
}

// 线段树部分
int tree[MAX_N << 2];

inline void push_up(int p) {
tree[p] = max(tree[p << 1], tree[p << 1|1]);
}

void build(int l, int r, int p) {
if(l == r) {
tree[p] = 0;
return ;
}
int mid = mm;
build(lson), build(rson);
}

void update(int l, int r, int p, int k, int val) {
if(l == r && r == k) {
tree[p] = val;
return ;
}
int mid = mm;
if(k <= mid) update(lson, k, val);
else update(rson, k, val);
push_up(p);
}

int query(int l, int r, int p, int L, int R) {
if(L <= l && r <= R) return tree[p];
int mid = mm, ret = INT_MIN;
if(L <= mid) ret = max(ret, query(lson, L, R));
if(R > mid) ret = max(ret, query(rson, L, R));
return ret;
}

int find(int u, int v) {
// 查询u->v上最大边权
int f1 = top[u], f2 = top[v];
int tmp = 0;
while(f1 != f2) {
if(deep[f1] < deep[f2]) {
swap(f1, f2);
swap(u, v);
}
tmp = max(tmp, query(1, pos, 1, p[f1], p[u]));
u = fa[f1], f1 = top[u];
}
if(u == v) return tmp;
if(deep[u] > deep[v]) swap(u, v);
return max(tmp, query(1, pos, 1, p[ son[u] ], p[v]));
}

int G[MAX_N][3];

int main() {
int T, n, u, v;
char op[10];
scanf("%d", &T);
while(T --) {
init();
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i < n; ++i) {
scanf("%d %d %d", &G[i][0], &G[i][1], &G[i][2]);
add_edge(G[i][0], G[i][1]);
add_edge(G[i][1], G[i][0]);
}
dfs(1, 0, 0);
get_pos(1, 1);
build(1, pos, 1);
for(int i = 1; i < n; ++i) {
if(deep[ G[i][0] ] > deep[ G[i][1] ])
swap(G[i][0], G[i][1]);
update(1, pos, 1, p[ G[i][1] ], G[i][2]);
}
while(scanf("%s", op)) {
if(op[0] == 'D') break ;
scanf("%d %d", &u, &v);
if(op[0] == 'Q')
printf("%d\n", find(u, v));
else update(1, pos, 1, p[ G[u][1] ], v);
}
}
return 0;
}

并查集

普通并查集

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const int MAX_N = 1e5 + 10;
int f[MAX_N];
void init(int n) {
for(int i = 0; i <= n; ++i)
f[i] = i;
}
int find(int x) {
return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}
bool merge(int x, int y) {
x = find(x), y = find(y);
if(x == y) return false ;
f[y] = x;
return true; // false表示已经在同一集合
}

带权并查集

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const int MAX_N = 1e5 + 10;
const int MOD = 3;
// MOD实际上指的是关系数
int f[MAX_N], p[MAX_N];
// p数组存权值

void init(int n) {
for(int i = 0; i <= n; ++i)
f[i] = i, p[i] = 0;
}

int find(int x) {
int tmp = f[x];
if(f[x] != x) {
f[x] = find(f[x]); // 压缩路径
p[x] = (p[x] + p[tmp]) % MOD;
// 合并权值
}
return f[x];
}

void merge(int x, int y, int s) {
// 合并集合并加权,这里一般要s-1
int fx = find(x), fy = find(y);
if(fx != fy) {
f[fy] = fx;
p[fy] = (p[x] - p[y] + s + MOD) % MOD;
}
}

bool solve(int x, int y, int ask, int n) {
// 判断x、y权值关系,是否满足要求
int fx = find(x), fy = find(y);
bool flag = true;
if(x > n || y > n || (ask == 1 && x == y))
flag = false ;
else if(fx == fy)
flag = ((p[y] - p[x] + MOD) % MOD == ask);
return flag;
}

数论部分

一些基础的公式、定理

  1. 组合数公式:Cnm=Cn1m1+Cn1mC_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m,即杨辉三角,可用在O(n2)O(n^2)下求出所有组合数
  2. Lucas定理:Cnm=Cn/pm/pCn%pm%pmodpC_n^m = C_{n/p}^{m/p} * C_{n\%p}^{m\%p} \mod p,要求pp是质数
  3. 错排公式:an=(n1)(an1+an2)a_n = (n-1) * (a_{n-1} + a_{n-2})
  4. 欧拉定理:若gcd(a,n)=1gcd(a,n) = 1,则有aϕ(n)1(modn)a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n,其中ϕ(n)\phi(n)是欧拉函数。
  5. 费马小定理:若gcd(a,p)=1gcd(a, p) = 1,则有ap11(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod p
  6. 费马大定理:当n>2n > 2时,xn+yn=znx^n + y^n = z^n没有正整数解
  7. 威尔逊定理:当且仅当pp是素数时,有(p1)!1(modp)(p-1)! \equiv 1 \pmod p
  8. 快速幂:对于任意正整数a,na,n,满足an={(an/2)2n是偶数a(an/2)2n是奇数a^n = \begin{cases} {(a^{n/2})}^2 &\text{n是偶数} \\ a * (a^{n/2})^2 &\text{n是奇数} \end{cases}
  9. 平方和公式:x=1nx2=(2n+1)(n+1)n/6\sum_{x=1}^n x^2 = (2*n + 1) * (n + 1) * n / 6
  10. 等比数列求和:Sn=a1(1qn)/(1q)S_n = a_1 * (1-q^n) / (1-q)
  11. 素数间隔定理:对于大质数pnp_npn1p_{n-1}之间间隔不超过log2pn\log_2p_n
  12. 待更新……

因数、余数、质数基础

埃氏素数筛法

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const int MAX_N = 1e5 + 10;
int CNT, prime[MAX_N];
bool vis[MAX_N];
void make_prime() {
CNT = 0;
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i) {
if(!vis[i]) {
prime[++CNT] = i;
for(int j = 2; j * i < MAX_N; ++j)
vis[i*j] = true;
}
}
}

欧拉函数

对于任意正整数nn,欧拉函数是[1,n][1,n]中与nn互质的数的个数,通常写作φ(n)\varphi(n)。特别地,φ(1)=1\varphi(1) = 1

通式为:φ(x)=xi=1n(11pi)\varphi(x) = x \displaystyle\prod_{i=1}^{n} (1 - \frac{1}{p_i}),其中p1,p2,,pnp_1, p_2, \dots, p_nnn的所有质因子。

  1. 求解单个数字其欧拉函数:
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int phi(int n) {
int ans = n;
for(int i = 2; i * i <= n; ++i) {
if(n % i == 0) {
ans -= ans / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1) ans -= ans / n;
return ans;
}
  1. 打表求欧拉函数:
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const int MAX_N = 1e5 + 10;
int phi[MAX_N];
void euler() {
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i) {
if(!phi[i]) {
for(int j = i; j < MAX_N; j += i) {
if(!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
}
}
}
}
  1. 线性筛素数、欧拉函数:
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const int MAX_N = 1e6 + 10;
int CNT, prime[MAX_N], phi[MAX_N];
bool vis[MAX_N];
void make_prime_phi() {
CNT = 0;
memset(vis, false, sizeof(vis));
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i) {
if(!vis[i]) {
prime[++CNT] = i;
phi[i] = i-1;
}
for(int j = 1; j <= CNT && i*prime[j] < MAX_N; ++j) {
vis[ i*prime[j] ] = true;
if(i % prime[j] == 0) {
phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
break ;
} else phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1);
}
}
}

欧拉函数的一些性质:

  1. gcd(n,m)=1gcd(n, m) = 1,则φ(nm)=φ(n)φ(m)\varphi(nm) = \varphi(n) \varphi(m)
  2. n>2n>2时,所有的φ(n)\varphi(n)都是偶数
  3. nn为奇数时,有φ(2n)=φ(n)\varphi(2n) = \varphi(n)
  4. gcd(i,n)=1ni=nφ(n)/2\displaystyle\sum_{gcd(i, n) = 1}^{n}{i} = n * \varphi(n) / 2
  5. dnφ(d)=n\displaystyle\sum_{d|n} \varphi(d) = n

欧几里得定理求a、b最大公因数、最小公倍数

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int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int lcm(int a, int b) {
return a / gcd(a, b) * b;
}

扩展欧几里得

求一组整数特解(x,y)(x, y),满足ax+by=gcd(a,b)ax + by = gcd(a, b),其中aabb已知。

易知上述方程可转化为bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)bx' + (a \% b)y' = gcd(b, a \% b) = gcd(a, b)

则有ax+by=bx+(a%b)yax + by = bx' + (a \% b)y',整理后得

ax+by=ay+b(xaby)ax + by = ay' + b(x' - \lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor y')

得出解:x=y,y=xabyx = y', y = x' - \lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor y',其中当递归到b=0b = 0时,可得一组特解x=1,y=0x = 1, y = 0

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int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = ex_gcd(b, a%b, x, y);
int t = x;
x = y, y = t - a / b * y;
return d;
}

得到一组特解(x1,y1)(x_1, y_1)后,方程ax+by=gcd(a,b)ax + by = gcd(a, b)的通解为:x=x1+k(b/d),y=y1+k(a/d)x = x_1 + k * (b/d), y = y_1 + k * (a / d),其中kk为任意整数。ax+by=cgcd(a,b)ax + by = c*gcd(a, b)cc为任意正整数)的通解为:x=cx1+k(b/d),y=cy1+k(a/d)x = c * x_1 + k * (b/d), y = c * y_1 + k * (a / d)

线性同余方程

形如:axb(modp)ax \equiv b \pmod p的方程,称为线性同余方程,有如下两个定理:

  1. d=gcd(a,p)d = gcd(a, p),当dbd|b时,方程恰有且好有dd个模nn不同余的解,否则方程无解。
  2. x0x_0是方程任一解,则该方程通解为xi=(x0+k(p/d))%nx_i = (x_0 + k * (p / d)) \% n,其中k=0,1,2,,d1k = 0, 1, 2, \dots, d-1

注意:扩展欧几里得求出axpy=gcd(a,p)ax-py=gcd(a,p)的一组解后,并不一定是原同余方程的解。

特别地,设t=n/dt = n / d,若求出一特解xx,则该方程的最小正整数解为x%tx \% t,这里的模运算右对齐。

模线性方程组求解(中国剩余定理)

对于模线性方程组如:

{xa1(modm1)xa2(modm2)xan(modmn)\begin{cases} {x \equiv a_1 \pmod{m_1}} \\ {x \equiv a_2 \pmod{m_2}} \\ \dots \\ {x \equiv a_n \pmod{m_n}}\end{cases}

假设整数m1,m2,,mnm_1, m_2, \dots, m_n两两互质,通解可以构造如下:

M=i=1nmiM = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} m_i,并设Mi=M/miM_i = M / m_iti=Mi1t_i = M_i^{-1},其中Mi1M_i^{-1}表示MiM_imim_i意义下的倒数,即Miti1(modmi)M_it_i \equiv 1 \pmod{m_i}

方程组通解为:x=i=1naitiMi+kMx = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {a_it_iM_i + kM}kk为任意整数。

求最小正整数解:

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int crt(int r[], int m[], int n) {
int M = 1, ans = 0, x, y, Mi;
for(int i = 1; i <= n; ++i) M *= m[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
Mi = M / m[i];
ex_gcd(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + r[i] * x * Mi) % M;
}
while(ans < 0) ans += M;
return ans;
}

若数m1,m2,,mnm_1, m_2, \dots, m_n不一定互质,求最小正整数解:

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int ex_crt(int m[], int r[], int n) {
int M = m[1], R = r[1], d, x, y;
for(int i = 2; i <= n; ++i) {
d = ex_gcd(M, m[i], x, y);
if((R - r[i]) % d) return -1;
x = (R - r[i]) / d * x % m[i];
R -= M * x, M = M / d * m[i];
R %= M;
}
R = (R % M + M) % M;
return R;
}

乘法逆元

在可模运算的数据集合内,定义任意一个aa,若存在一个ee,满足:

a×ee×aa(modp)a \times e \equiv e \times a \equiv a \pmod p

则称ee为该种数据的在模pp意义下的幺元。若存在一个bb,满足:

a×bb×ae(modp)a \times b \equiv b \times a \equiv e \pmod p

则称bbaa在模pp意义下的逆元,通常写作inv(a)inv(a)a1a^{-1}

由上述可知,在正整数集内,11就是一个幺元(pp可取任意值)。

  1. 扩展欧几里得求逆元:

即求同余方程ax1(modp)ax \equiv 1 \pmod p的最小正整数解,前提是gcd(a,p)=1gcd(a, p) = 1

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const int MOD = 1e9 + 7;
int inv(int a) {
int x, y;
ex_gcd(a, MOD, x, y);
return (x % MOD + MOD) % MOD;
}
  1. 费马小定理求逆元:

根据ap1modp=1a^{p-1} \mod p = 1a1ap2(modp)a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod p,前提是pp为质数且aa不是pp的倍数。

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const int MOD = 1e9 + 7;
int qmod(int n, int a) {
int tmp = 1;
if(n) {
tmp = qmod(n >> 1, a);
tmp = tmp * tmp % MOD;
if(n & 1) tmp = tmp * a % MOD;
}
return tmp;
}
int inv(int a) {
return qmod(MOD - 2, a);
}
  1. 线性递推逆元:

前提是模数为一个奇质数。

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const int MAX_N = 1e5 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
int inv[MAX_N]; // 最大可求到min(MAX_N, MOD)
void make_inv() {
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < MOD && i < MAX_N; ++i)
inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
}

二次剩余

x2n(modp)x^2 \equiv n \pmod p有解,则称nn是模pp的二次剩余。常用于模意义下的开方,即nx(modp)\sqrt{n} \equiv x \pmod p

引入一个概念,勒让德符号:

(ap)={0,a0(modp)1,x2a(modp)1,x2≢a(modp)\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 0, &{a \equiv 0 \pmod p} \\ 1, &{\exists x^2 \equiv a \pmod p} \\ -1, & {\forall x^2 \not\equiv a \pmod p} \end{cases}

又有欧拉准则(前提为pp是奇质数):

(ap)=±1ap12(modp)\left(\frac{a}{p}\right) = \pm1 \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p

可以利用上述欧拉准则进行求解:

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#define ll long long

struct Point {
// 二次域 x + y*sqrt(w)
ll x, y, w;
Point(int a = 0, int b = 0, int c = 0) {
x = a, y = b, w = c;
}
};

Point mul(Point a, Point b, ll MOD) {
// 二次域乘法
Point ans;
ans.x = (a.x * b.x % MOD + a.y * b.y % MOD * a.w % MOD) % MOD;
ans.y = (a.x * b.y % MOD + a.y * b.x % MOD) % MOD;
ans.w = a.w;
return ans;
}

Point qmod(ll n, Point a, ll MOD) {
Point ans = Point(1, 0, a.w);
for(; n; n >>= 1, a = mul(a, a, MOD))
if(n & 1) ans = mul(ans, a, MOD);
return ans;
}

ll qmod(ll n, ll a, ll MOD) {
ll ans = 1LL;
for(; n; n >>= 1, a = a * a % MOD)
if(n & 1) ans = ans * a % MOD;
return ans;
}

ll lgd(ll a, ll p) {
// 勒让德符号
ll ans = qmod((p - 1) >> 1, a, p);
if(ans + 1 == p) return -1;
return ans;
}

ll solve(ll b, ll p) {
// 求x^2 = b(mod p)
if(!b || p == 2) return b;
if(lgd(b, p) == -1) return -1;
ll w, a;
do {
a = rand() % p;
w = a * a - b;
w = (w % p + p) % p;
} while(lgd(w, p) != -1);
Point ans, tmp = Point(a, 1, w);
ans = qmod((p + 1) >> 1, tmp, p);
return ans.x;
}

普通分解质因数

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const int MAX_N = 100 + 10;
int factor[MAX_N][2], fatcnt;
int get_factors(int x) {
// 需要先make_prime
fatcnt = 0;
for(int i = 1; prime[i] * prime[i] <= x; ++i) {
factor[fatcnt][1] = 0;
if(x % prime[i] == 0) {
factor[++fatcnt][0] = prime[i];
while(x % prime[i] == 0) {
++factor[fatcnt][1];
x /= prime[i];
}
}
}
if(x > 1) {
factor[++fatcnt][0] = x;
factor[fatcnt][1] = 1;
}
return fatcnt;
}

约数的和取余

ABA^B所有因子的和取模MOD,这里有一个计算1+p+p2++pn1 + p + p^2 + \dots + p^n的算法。

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ll qmod(ll a, ll n, ll MOD) {
ll ans = 1;
for(; n; n >>= 1, a = a*a % MOD)
if(n & 1) ans = ans*a % MOD;
return ans;
}

ll sum(ll p, ll n, ll MOD) {
if(p == 0) return 0;
if(n == 0) return 1;
if(n & 1)
return (1 + qmod(p, n / 2 + 1, MOD)) % MOD * sum(p, n / 2, MOD) % MOD;
return ((1 + qmod(p, n / 2 + 1, MOD)) % MOD * sum(p, n / 2, MOD) % MOD + qmod(p, n / 2, MOD) % MOD) % MOD;
}

ll solve(ll A, ll B, ll MOD) {
get_factors(A);
ll ans = 1;
for(int i = 1; i <= fatcnt; ++i)
ans = ans * sum(factor[i][0], factor[i][1]*B, MOD) % MOD;
return ans;
}

组合数相关

一些定理

  1. m=0nCnm=2n\displaystyle\sum_{m=0}^{n} C_n^m = 2^n
  2. 奇数项和 = 偶数项和 = 2n12^{n-1}
  3. kCnk=nCn1k1k * C_n^k = n * C_{n-1}^{k-1}

预处理组合数

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const int MAX_N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int C[MAX_N][MAX_N];
void make_C() {
for(int i = 0; i < MAX_N; ++i)
C[i][0] = C[i][i] = 1;
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i)
for(int j = 1; j < i; ++j)
C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i-1][j]) % MOD;
}

求单个组合数

1
2
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8
9
10
const int MAX_N = 1e5 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
int fac[MAX_N], inv[MAX_N];
// fac是阶乘,inv是阶乘逆元
void cal(int n, int m) {
// 需要make_inv
if(n < m) return 0;
if(n - m < m) m = n - m;
return fac[n] * inv[m] % MOD * inv[ n-m ] % MOD;
}

卢卡斯定理

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#define ll long long
ll inv(ll a, ll p) {
// a^(p-2) % p
return qmod(p-2, a, p);
}

ll cal(ll a, ll b, ll p) {
if(a < b) return 0;
if(b > a-b) b = a-b;
ll fz = 1, fm = 1;
for(ll i = 0; i < b; ++i) {
fz = fz * (a-i) % p;
fm = fm * (i+1) % p;
}
return fz * inv(fm, p) % p;
}

ll lucas(ll a, ll b, ll p) {
if(b == 0 || a == b) return 1;
return cal(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

斯特林数

  1. 第一类斯特林数:形如[nm]\left[\begin{matrix} {n} \\ {m} \end{matrix}\right]或者s(n,m)s(n, m),表示将nn个不同元素分成mm组,每组是一个的方案数。由于是一个环,所以(1,2,3,4,5)(1, 2, 3, 4, 5)(5,4,3,2,1)(5, 4, 3, 2, 1)其实是同一种方案。其中又分无符号斯特林数sus_{u}和有符号斯特林数sss_{s}
    第一类斯特林数又有如下性质:
    • su(n,0)=0ns_{u}(n, 0) = 0^n
    • su(n,n)=su(n,1)=1s_{u}(n, n) = s_{u}(n, 1) = 1
    • su(n,n1)=Cn2s_{u}(n, n-1) = C_n^2
    • su(n,2)=(n1)i=1n11is_{u}(n, 2) = (n-1) \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} {\frac{1}{i}}
    • su(n,n2)=2Cn3+3Cn4s_{u}(n, n-2) = 2 \cdot C_n^3 + 3 \cdot C_n^4
    • k=0nsu(n,k)=n!\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{s_{u}(n, k)} = n!
    • su(n+1,m)=su(n,m1)+nsu(n,m)s_{u}(n+1, m) = s_{u}(n, m-1) + n \cdot s_{u}(n, m)
    • ss(n,m)=(1)n+msu(n,m)s_{s}(n, m) = {(-1)}^{n+m}s_{u}(n, m)
    • k=0nss(n,k)=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{s_{s}(n, k)} = 0^n,注意00=10^0 = 1
    • 代码实现第一类斯特林数:
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#define ll long long
const int MAX_N = 2000 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
ll S[MAX_N][MAX_N];
void make_Stirling_1() {
memset(S, 0LL, sizeof(S));
S[0][0] = S[1][1] = 1LL;
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i)
for(int j = 1; j <= i; ++j)
S[i][j] = (S[i-1][j-1] + (i-1) * S[i-1][j] % MOD) % MOD;
}
  1. 第二类斯特林数:形如{nm}\left\{\begin{matrix} {n} \\ {m}\end{matrix}\right\}或者S(n,m)S(n, m),表示将nn个不同元素拆分成mm个集合的方案数。
    则有如下性质:
    • 前三个性质与第一类相同
    • S(n,2)=2n11S(n, 2) = 2^{n-1} - 1
    • S(n,n1)=Cn2S(n, n-1) = C_n^2
    • S(n,n2)=Cn3+3Cn4S(n, n-2) = C_n^3 + 3 \cdot C_n^4
    • S(n,n3)=Cn4+10Cn5+15Cn6S(n, n-3) = C_n^4 + 10 \cdot C_n^5 + 15 \cdot C_n^6
    • S(n,3)=12(3n1+1)2n1S(n, 3) = \frac{1}{2}(3^{n-1} + 1) - 2^{n-1}
    • k=0nS(n,k)=Bn\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{S(n, k)} = B_nBnB_n指的是Bell数
    • S(n,m)=1m!k=0m(1)kCmk(mk)nS(n, m) = \frac{1}{m!} \displaystyle_{k=0}^{m} {(-1)}^{k}C_m^k {(m-k)}^n
    • S(n+1,m)=S(n,m1)+mS(n,m)S(n+1, m) = S(n, m-1) + m \cdot S(n, m)
    • 代码实现第二类斯特林数:
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#define ll long long
const int MAX_N = 2000 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
ll S[MAX_N][MAX_N];
void make_Stirling_2() {
memset(S, 0LL, sizeof(S));
S[0][0] = S[1][1] = 1LL;
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i)
for(int j = 1; j <= i; ++j)
S[i][j] = (S[i-1][j-1] + j * S[i-1][j] % MOD) % MOD;
}

Miller_Rabin 快速大素数测试

可以测试2632^{63}(甚至更高)以下的数是否是素数(但可能是伪素数)

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#define ull unsigned long long
const int S = 4; // 测试次数,一般4~8次

ull mulit_mod(ull n, ull a, ull MOD) {
a %= MOD, n %= MOD;
ull ans = 0;
for(; n; n >>= 1, a = (a + a) % MOD)
if(n & 1) ans = (ans + a) % MOD;
return ans;
}

ull pow_mod(ull n, ull a, ull MOD) {
ull ans = 1;
for(; n; n >>= 1, a = mulit_mod(a, a, MOD))
if(n & 1) ans = mulit_mod(ans, a, MOD);
return ans;
}

bool Miller_Rabin(ull n, ull a) {
ull d = n-1, s = 0, t;
while(!(d&1)) d >>= 1, ++s;
t = pow_mod(d, a, n);
if(t == 1 || t == -1) return true;
for(int i = 0; i < s; ++i) {
if(t == n-1) return true;
t = mulit_mod(t, t, n);
}
return false;
}

bool is_prime(ull n) {
if(n < 2) return false;
if(n == 2) return true;
if((n&1) == 0) return false;
srand(time(NULL));
for(int i = 0; i < S; ++i) {
ull a = rand() % (n-1) + 1;
if(a != 1 && n % a == 0) return false;
if(!Miller_Rabin(n, a))
return false;
}
return true;
}

Pollard_rho大数分解质因数

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ll factor[100];
int fatcnt; //质因子个数
ll gcd(ll a, ll b) {
ll t;
while(b)
t = a, a = b, b = t%b;
return a < 0 ? -a : a;
}

ll Pollard_rho(ll x, ll c) {
ll i = 1, k = 2;
srand(time(NULL));
ll x0 = rand() % x;
ll y = x0;
while(true) {
++i;
x0 = (mulit_mod(x0, x0, x) + c) % x;
ll d = gcd(y - x0, x);
if(d != 1 && d != x) return d;
if(y == x0) return x;
if(i == k) {y = x0, k += k;}
}
}
// k一般设置107左右
void find_fac(ll n, ll k) {
if(n == 1) return ;
if(is_prime(n)) { // 调用Miller_Rabin
factor[++fatcnt] = n;
return ;
}
ll p = n;
int c = k;
while(p >= n) p = Pollard_rho(p, c--);
find_fac(p, k);
find_fac(n / p, k);
}

欧拉降幂公式

ab{ab%φ(p),gcd(a,p)=1ab,gcd(a,p)1,b<φ(p)ab%φ(p)+φ(p),gcd(a,p)1,bφ(p)(modp)a^b \equiv \begin{cases} a^{b \% \varphi(p)}, &{\gcd(a, p) = 1} \\ a^b, &{\gcd(a, p) \neq 1, b < \varphi(p)} \\ a^{b \% \varphi(p) + \varphi(p)}, &{\gcd(a, p) \neq 1, b \geq \varphi(p)} \end{cases} \pmod p

利用欧拉降幂求

aaaanmodp{\underbrace{a^{a^{a^{\sdot^{\sdot^{\sdot^{a}}}}}}}_n} \mod p

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#define ll long long
//需要make_phi
ll qmod(ll a, ll n, ll MOD)
{
ll ans = 1;
for(; n; n >>= 1, a = a*a % MOD)
if(n & 1) ans = ans*a % MOD;
return ans;
}

ll get_log(ll x, ll a) {
if(x < 1) return -1;
return 1 + get_log(log(x)/log(a), a);
}

ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

ll f(ll a, ll n, ll p) {
if(a == 1 || n == 0) return 1%p;
if(p == 1) return 0;
if(n == 1) return a % p;
if(gcd(a, p) == 1) {
return qmod(a, f(a, n-1, phi[p]), p);
} else {
ll k = get_log(phi[p], a);
if(k <= n-1)
return qmod(a, f(a, n-1, phi[p]) + phi[p], p);
else return qmod(a, f(a, n-1, phi[p]), p);
}
}

BSGS大步小步算法

Baby-Step Giant-Step算法求解axb(modn)a^x \equiv b \pmod n,求一个x[0,n)x \in {[0, n)},对于a,b,na, b, n没有特殊要求。

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#define ll long long
const int MOD = 76543; // 用于Hash
int head[MOD], top;
struct node {
int hs, id, go;
node() {}
node(int a, int b, int c) {
hs = a, id = b, go = c;
}
}a[MOD];

void insert(int x, int y) {
int k = x%MOD;
a[++top] = node(x, y, head[k]);
head[k] = top;
}

int find(int x) {
int k = x%MOD;
for(int i = head[k]; i != -1; i = a[i].go)
if(a[i].hs == x)
return a[i].id;
return -1;
}

int BSGS(int a, int b, int n) {
// a^x = b (mod n)
memset(head, -1, sizeof(head));
top = 0;
if(b == 1) return 0;
int m = sqrt(1.0 * n), j;
ll x = 1, p = 1;
for(int i = 0; i < m; ++i, p = p*a % n)
insert(p*b % n, i);
for(ll i = m; ; i += m) {
if((j = find(x = x*p % n)) != -1) return i-j;
if(i > n) break ;
}
return -1;
}

莫比乌斯函数、反演

莫比乌斯函数:

μ(d)={1,d=0(1)k,d=p1p2pk,pipj0,others\mu(d) = \begin{cases} 1, & {d = 0} \\ {(-1)}^k, & {d = p_1 \cdot p_2 \dots p_k}, \forall p_i \not = p_j \\ 0, & {others} \end{cases}

有一些这样的性质:

dnμ(d)={1,n=10,n>0\displaystyle\sum_{d|n} {\mu(d)} = \begin{cases} 1, & n = 1 \\ 0, & n > 0 \end{cases}

dnμ(d)d=φ(n)n,nN+\displaystyle\sum_{d|n} {\frac{\mu(d)}{d}} = {\frac{\varphi(n)}{n}} , {n \in N_+}

根据这样的性质便可以线性筛莫比乌斯函数:

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const int MAX_N = 1e6 + 10;
bool vis[MAX_N];
int CNT, prime[MAX_N], mu[MAX_N];

void make_mobius() {
memset(vis, false, sizeof(vis));
mu[1] = 1;
CNT = 0;
for(int i = 2; i < MAX_N; ++i) {
if(!vis[i]) {
prime[++CNT] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1; j <= CNT && i*prime[j] < MAX_N; ++j) {
vis[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0) {
mu[i * prime[j]] = 0;
break ;
} else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}

莫比乌斯反演:

形式一:

F(n)=dnf(d)    f(n)=dnμ(d)F(nd)F(n) = \displaystyle\sum_{d|n} {f(d)} \iff f(n) = \displaystyle\sum_{d|n} {\mu(d)F(\frac{n}{d})}

形式二:

F(n)=ndf(d)    f(n)=ndμ(dn)F(d)F(n) = \displaystyle\sum_{n|d} {f(d)} \iff f(n) = \displaystyle\sum_{n|d} {\mu(\frac{d}{n})F(d)}

牛顿迭代法求平方根

  1. C++ 版本,精度有限
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double sqrt_newton(double n) {
const double eps = 1E-15;
double x = 1;
while (1) {
double nx = (x + n / x) / 2;
if (abs(x - nx) < eps) break;
x = nx;
}
return x;
}
  1. JAVA版本,精度较高
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public static BigInteger isqrtNewton(BigInteger n) {
BigInteger a = BigInteger.ONE.shiftLeft(n.bitLength() / 2);
boolean p_dec = false;
for(;;) {
BigInteger b = n.divide(a).add(a).shiftRight(1);
if(a.compareTo(b) == 0 || a.compareTo(b) < 0 && p_dec)
break;
p_dec = a.compareTo(b) > 0;
a = b;
}
return a;
}

高斯消元

1
// 待更新

线性基

1
//待更新

斐波那契数列

  1. 通项公式:

Fn=(1+52)n(152)n5F_n = \frac{ {\left({ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} } \right)}^n - {\left({ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} } \right)}^n} {\sqrt{5}}

1
// 待更新

图论部分

邻接表存图

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#define ll long long
// 使用前需要将tot清零,head初始化为-1
const ll INF = 1LL << 60;
const int MAX_N = 1e5 + 10; // 点数
const int MAX_M = 1e6 + 10; // 边数

struct Edge {
int to, dis, go;
Edge(int a = 0, int b = 0, int c = 0) {
to = a, dis = b, go = c;
}
}edge[MAX_M];
int head[MAX_N], tot;
void add_edge(int u, int v, int dis) {
edge[++tot] = Edge(v, dis, head[u]), head[u] = tot;
}

Vector伪邻接表存图

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const int MAX_N = 1e5 + 10;
struct node {
int to, dis;
node() {}
node(int a = 0, int b = 0) {
to = a, dis = b;
}
};
vector<node> G[MAX_N];
void add_edge(int u, int v, int dis) {
G[u].push_back(node(v, dis));
}

Dijkstra单源最短路

时间复杂度O(nlog2n)O(n \cdot \log_2n),不可以有负权边

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//需要邻接表存图
#define ll long long
struct node {
int u; ll dis;
node(int a = 0, ll b = 0) {
u = a, dis = b;
}
};
bool operator < (node a, node b) {
// 这里注意是<右边的元素会放在前面
if(a.dis != b.dis) return a.dis > b.dis;
else return a.u > b.u;
}

bool vis[MAX_N];
ll dist[MAX_N];

void Dijkstra(int s, int n) {
for(int i = 1; i <= n; ++i)
dist[i] = INF, vis[i] = false;
priority_queue<node> q;
dist[s] = 0;
q.push(node(s, 0));
node t;
int u, v, i;
ll tmp;
while(!q.empty()) {
t = q.top();
q.pop();
u = t.u;
if(vis[u]) continue ;
vis[u] = true;
for(i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
v = edge[i].to;
tmp = dist[u] + edge[i].dis;
if(dist[v] > tmp) {
dist[v] = tmp;
q.push(node(v, dist[v]));
}
}
}
}

SPFA单源最短路

时间复杂度O(kE)O(kE)kk是点入队次数,EE是边数,其时间复杂度不固定,最坏可达到O(nE)O(nE),但是可以判断是否有负权环(某个点入队nn次),也可以解决负权边问题。

有两种优化:用双端队列、栈代替普通队列

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//需要邻接表存图
#define ll long long
bool vis[MAX_N];
ll dist[MAX_N];

void SPFA(int s, int n) {
for(int i = 1; i <= n; ++i)
dist[i] = INF, vis[i] = false;
queue<int> q;
dist[s] = 0;
q.push(s);
vis[s] = true;
int u, v, i;
ll tmp;
while(!q.empty()) {
u = q.front();
q.pop();
vis[u] = false;
for(i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
v = edge[i].to;
tmp = dist[u] + edge[i].dis;
if(dist[v] > tmp) {
dist[v] = tmp;
if(!vis[v]) {
vis[v] = true;
q.push(v);
}
}
}
}
}

Floyd多源最短路

时间复杂度O(n3)O(n^3)

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const int MAX_N = 110; // 点数
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int G[MAX_N][MAX_N], dist[MAX_N][MAX_N];

void floyd(int n) {
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
dist[i][j] = INF;
for(int k = 1; k <= n; ++k)
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
if(G[i][k] && G[k][j]) // 表示两点连通
dist[i][j] = min(dist[i][j], G[i][k] + G[k][j]);
if(G[i][j]) dist[i][j] = min(dist[i][j], G[i][j]);
}
}

最小生成树MST

Kruskal

利用并查集思想,用于解决大部分无向图的最小生成树问题。

时间复杂度大概在O(mlog2m+nα(n)))O(m * log_2m + n * \alpha(n)))

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//需要邻接表
bool cmp(Edge x, Edge y) {
if(x.dis != y.dis)
return x.dis < y.dis;
if(x.from != y.from)
return x.from < y.from;
return x.to < y.to;
}

int f[MAX_N];
int find(int x) {
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
void merge(int x, int y) {
x = find(x), y = find(y);
if(x != y) f[y] = x;
}
bool is_merge(int x, int y) {
x = find(x), y = find(y);
return x == y;
}

int kruskal(int n, int m) {
int k = 0, ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = i;
sort(edge + 1, edge + 1 + m, cmp);
for(int i = 1; i <= m && k < n-1; ++i) {
int u = edge[i].from, v = edge[i].to;
if(!is_merge(u, v)) {
merge(u, v);
ans += edge[i].dis;
++k;
}
}
return k == n-1 ? ans : -1;
}

Prim

将点集分为已访问点VV和未访问点EE,初始全是未访问点,先将任一点分到已访问点。选择VVEE最短的一条边,将EE中该点加入VV,直到所有点都在VV

用堆优化后时间复杂度为O((n+m)log2n)O((n+m) * log_2n),看起来比Kruskal优秀,但实际跑起来不一定。

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// 需要邻接表
struct node {
int u, dis;
node(int a = 0, int b = 0) {
u = a, dis = b;
}
};
bool operator< (node x, node y) {
if(x.dis != y.dis) return x.dis > y.dis;
if(x.u != y.u) return x.u > y.u;
}
bool vis[MAX_N];
int dist[MAX_N];

void init(int n) {
tot = 0;
for(int i = 0; i <= n; ++i)
vis[i] = false, head[i] = -1, dist[i] = inf;
}

int prim(int n) {
// 默认选择点1为初始点
int i, u, v, k = 0, ans = 0;
node t;
priority_queue<node> q;
dist[1] = 0;
q.push(node(1, 0));
//vis[1] = true;
while(k < n && !q.empty()) {
t = q.top(); q.pop();
u = t.u;
if(vis[u]) continue ;
vis[u] = true, ans += t.dis, ++k;
for(i = head[u]; i != -1; i = edge[i].go) {
v = edge[i].to;
if(!vis[v] && dist[v] > edge[i].dis) {
dist[v] = edge[i].dis;
q.push(node(v, dist[v]));
}
}
}
return k == n ? ans : -1;
}

最近公共祖先(LCA)

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// 待更新

二分图匹配

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// 待更新

网络流

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// 待更新

树分治(点分治)

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// 待更新

字符串处理部分

KMP

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// 待更新

exKMP

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// 待更新

博弈论部分

nim博弈

nn堆物品,每堆aia_i个,两个玩家轮流取走任意堆的任意个物品,不可不取,取走最后一个的获胜。

定义NimSum=i=1naiNimSum = \displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n} a_i,当且仅当NimSumNimSum00时,先手必败。

Bash博弈

只有一堆nn个物品,两个人轮流从中取物,最多取mm个,不可不取,最后取光者为胜。

当且仅当nmod(m+1)=0n \mod (m+1) = 0时,先手必败。

Wythoff博弈

有两堆各若干个物品,两人轮流从中取物,至少取一堆中若干件物品,或从两堆中同时取相同件物品,最后取完者胜利。

设两堆物品分别为x,y(x<y)x,y (x < y)个,令z=yxz = y-x,当且仅当5+12z=x\left\lfloor\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \cdot z \right\rfloor = x时,先手必败。

斐波那契博弈

有一堆若干个物品,两人轮流取,先手第一次取若干个,但不能把物品取完,之后每次去的物品数不能超过上一次取的物品数的两倍且至少一件,取走最后一件物品的人获胜。

当且仅当物品总数是斐波那契数时,先手必胜。

环形博弈

若干个物品连成环,每次取11个或是相邻的22个,取到最后一个的胜利。

当且仅当物品数量小于等于22时,先手必胜。

SG函数

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//f[N]:可改变当前状态的方式,N为方式的种类,f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
//因为SG[0]始终等于0,所以i从1开始
for(i = 1; i <= n; i++){
//每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
SG[i] = j;
break;
}
}
}

动态规划部分

背包

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const int MAX_N = 1e5 + 10; // 物品件数
const int MAX_M = 1e5 + 10; // 最大cost
int N, M, dp[MAX_M]; // 件数、cost、答案

void ZeroOnePack(int cost, int weight) {
// 0-1背包,对于一件物品的代价cost,价值weight
for(int i = M; i >= cost; --i)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost] + weight);
}

void CompletePack(int cost, int weight) {
// 完全背包
for(int i = cost; i <= M; ++i)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost] + weight);
}

void MultiplePack(int cost, int weight, int cnt) {
// 多重背包,将件数拆成二进制表示
if(cost * cnt >= M) CompletePack(cost, weight);
else {
for(int k = 1; k < cnt; cnt -= k, k <<= 1)
ZeroOnePack(k * cost, k * weight);
if(cnt > 0) ZeroOnePack(cnt * cost, cnt * weight);
}
}

区间DP

针对可以将两个、多个部分整合(分解)得到答案的数据,建立转移方程。

f(i,j)=merge{f(i,k),f(k)}+costf(i, j) = merge\{f(i, k), f(k)\} + cost

costcost指代这段区间合并(分解)所要花费的代价。

计算几何部分

Kuangbin几何模板

  1. 二维计算几何
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const double eps = 1e-8;
const double inf = 1e20;
const double pi = acos(-1.0);
const int maxp = 1010;
//`Compares a double to zero`
int sgn(double x){
if(fabs(x) < eps)return 0;
if(x < 0)return -1;
else return 1;
}
//square of a double
inline double sqr(double x){return x*x;}
/*
* Point
* Point() - Empty constructor
* Point(double _x,double _y) - constructor
* input() - double input
* output() - %.2f output
* operator == - compares x and y
* operator < - compares first by x, then by y
* operator - - return new Point after subtracting curresponging x and y
* operator ^ - cross product of 2d points
* operator * - dot product
* len() - gives length from origin
* len2() - gives square of length from origin
* distance(Point p) - gives distance from p
* operator + Point b - returns new Point after adding curresponging x and y
* operator * double k - returns new Point after multiplieing x and y by k
* operator / double k - returns new Point after divideing x and y by k
* rad(Point a,Point b)- returns the angle of Point a and Point b from this Point
* trunc(double r) - return Point that if truncated the distance from center to r
* rotleft() - returns 90 degree ccw rotated point
* rotright() - returns 90 degree cw rotated point
* rotate(Point p,double angle) - returns Point after rotateing the Point centering at p by angle radian ccw
*/
struct Point{
double x,y;
Point(){}
Point(double _x,double _y){
x = _x;
y = _y;
}
void input(){
scanf("%lf%lf",&x,&y);
}
void output(){
printf("%.2f %.2f\n",x,y);
}
bool operator == (Point b)const{
return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;
}
bool operator < (Point b)const{
return sgn(x-b.x)== 0?sgn(y-b.y)<0:x<b.x;
}
Point operator -(const Point &b)const{
return Point(x-b.x,y-b.y);
}
//叉积
double operator ^(const Point &b)const{
return x*b.y - y*b.x;
}
//点积
double operator *(const Point &b)const{
return x*b.x + y*b.y;
}
//返回长度
double len(){
return hypot(x,y);//库函数
}
//返回长度的平方
double len2(){
return x*x + y*y;
}
//返回两点的距离
double distance(Point p){
return hypot(x-p.x,y-p.y);
}
Point operator +(const Point &b)const{
return Point(x+b.x,y+b.y);
}
Point operator *(const double &k)const{
return Point(x*k,y*k);
}
Point operator /(const double &k)const{
return Point(x/k,y/k);
}
//`计算pa 和 pb 的夹角`
//`就是求这个点看a,b 所成的夹角`
//`测试 LightOJ1203`
double rad(Point a,Point b){
Point p = *this;
return fabs(atan2( fabs((a-p)^(b-p)),(a-p)*(b-p) ));
}
//`化为长度为r的向量`
Point trunc(double r){
double l = len();
if(!sgn(l))return *this;
r /= l;
return Point(x*r,y*r);
}
//`逆时针旋转90度`
Point rotleft(){
return Point(-y,x);
}
//`顺时针旋转90度`
Point rotright(){
return Point(y,-x);
}
//`绕着p点逆时针旋转angle`
Point rotate(Point p,double angle){
Point v = (*this) - p;
double c = cos(angle), s = sin(angle);
return Point(p.x + v.x*c - v.y*s,p.y + v.x*s + v.y*c);
}
};
/*
* Stores two points
* Line() - Empty constructor
* Line(Point _s,Point _e) - Line through _s and _e
* operator == - checks if two points are same
* Line(Point p,double angle) - one end p , another end at angle degree
* Line(double a,double b,double c) - Line of equation ax + by + c = 0
* input() - inputs s and e
* adjust() - orders in such a way that s < e
* length() - distance of se
* angle() - return 0 <= angle < pi
* relation(Point p) - 3 if point is on line
* 1 if point on the left of line
* 2 if point on the right of line
* pointonseg(double p) - return true if point on segment
* parallel(Line v) - return true if they are parallel
* segcrossseg(Line v) - returns 0 if does not intersect
* returns 1 if non-standard intersection
* returns 2 if intersects
* linecrossseg(Line v) - line and seg
* linecrossline(Line v) - 0 if parallel
* 1 if coincides
* 2 if intersects
* crosspoint(Line v) - returns intersection point
* dispointtoline(Point p) - distance from point p to the line
* dispointtoseg(Point p) - distance from p to the segment
* dissegtoseg(Line v) - distance of two segment
* lineprog(Point p) - returns projected point p on se line
* symmetrypoint(Point p) - returns reflection point of p over se
*
*/
struct Line{
Point s,e;
Line(){}
Line(Point _s,Point _e){
s = _s;
e = _e;
}
bool operator ==(Line v){
return (s == v.s)&&(e == v.e);
}
//`根据一个点和倾斜角angle确定直线,0<=angle<pi`
Line(Point p,double angle){
s = p;
if(sgn(angle-pi/2) == 0){
e = (s + Point(0,1));
}
else{
e = (s + Point(1,tan(angle)));
}
}
//ax+by+c=0
Line(double a,double b,double c){
if(sgn(a) == 0){
s = Point(0,-c/b);
e = Point(1,-c/b);
}
else if(sgn(b) == 0){
s = Point(-c/a,0);
e = Point(-c/a,1);
}
else{
s = Point(0,-c/b);
e = Point(1,(-c-a)/b);
}
}
void input(){
s.input();
e.input();
}
void adjust(){
if(e < s)swap(s,e);
}
//求线段长度
double length(){
return s.distance(e);
}
//`返回直线倾斜角 0<=angle<pi`
double angle(){
double k = atan2(e.y-s.y,e.x-s.x);
if(sgn(k) < 0)k += pi;
if(sgn(k-pi) == 0)k -= pi;
return k;
}
//`点和直线关系`
//`1 在左侧`
//`2 在右侧`
//`3 在直线上`
int relation(Point p){
int c = sgn((p-s)^(e-s));
if(c < 0)return 1;
else if(c > 0)return 2;
else return 3;
}
// 点在线段上的判断
bool pointonseg(Point p){
return sgn((p-s)^(e-s)) == 0 && sgn((p-s)*(p-e)) <= 0;
}
//`两向量平行(对应直线平行或重合)`
bool parallel(Line v){
return sgn((e-s)^(v.e-v.s)) == 0;
}
//`两线段相交判断`
//`2 规范相交`
//`1 非规范相交`
//`0 不相交`
int segcrossseg(Line v){
int d1 = sgn((e-s)^(v.s-s));
int d2 = sgn((e-s)^(v.e-s));
int d3 = sgn((v.e-v.s)^(s-v.s));
int d4 = sgn((v.e-v.s)^(e-v.s));
if( (d1^d2)==-2 && (d3^d4)==-2 )return 2;
return (d1==0 && sgn((v.s-s)*(v.s-e))<=0) ||
(d2==0 && sgn((v.e-s)*(v.e-e))<=0) ||
(d3==0 && sgn((s-v.s)*(s-v.e))<=0) ||
(d4==0 && sgn((e-v.s)*(e-v.e))<=0);
}
//`直线和线段相交判断`
//`-*this line -v seg`
//`2 规范相交`
//`1 非规范相交`
//`0 不相交`
int linecrossseg(Line v){
int d1 = sgn((e-s)^(v.s-s));
int d2 = sgn((e-s)^(v.e-s));
if((d1^d2)==-2) return 2;
return (d1==0||d2==0);
}
//`两直线关系`
//`0 平行`
//`1 重合`
//`2 相交`
int linecrossline(Line v){
if((*this).parallel(v))
return v.relation(s)==3;
return 2;
}
//`求两直线的交点`
//`要保证两直线不平行或重合`
Point crosspoint(Line v){
double a1 = (v.e-v.s)^(s-v.s);
double a2 = (v.e-v.s)^(e-v.s);
return Point((s.x*a2-e.x*a1)/(a2-a1),(s.y*a2-e.y*a1)/(a2-a1));
}
//点到直线的距离
double dispointtoline(Point p){
return fabs((p-s)^(e-s))/length();
}
//点到线段的距离
double dispointtoseg(Point p){
if(sgn((p-s)*(e-s))<0 || sgn((p-e)*(s-e))<0)
return min(p.distance(s),p.distance(e));
return dispointtoline(p);
}
//`返回线段到线段的距离`
//`前提是两线段不相交,相交距离就是0了`
double dissegtoseg(Line v){
return min(min(dispointtoseg(v.s),dispointtoseg(v.e)),min(v.dispointtoseg(s),v.dispointtoseg(e)));
}
//`返回点p在直线上的投影`
Point lineprog(Point p){
return s + ( ((e-s)*((e-s)*(p-s)))/((e-s).len2()) );
}
//`返回点p关于直线的对称点`
Point symmetrypoint(Point p){
Point q = lineprog(p);
return Point(2*q.x-p.x,2*q.y-p.y);
}
};
//圆
struct circle{
Point p;//圆心
double r;//半径
circle(){}
circle(Point _p,double _r){
p = _p;
r = _r;
}
circle(double x,double y,double _r){
p = Point(x,y);
r = _r;
}
//`三角形的外接圆`
//`需要Point的+ / rotate() 以及Line的crosspoint()`
//`利用两条边的中垂线得到圆心`
//`测试:UVA12304`
circle(Point a,Point b,Point c){
Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
p = u.crosspoint(v);
r = p.distance(a);
}
//`三角形的内切圆`
//`参数bool t没有作用,只是为了和上面外接圆函数区别`
//`测试:UVA12304`
circle(Point a,Point b,Point c,bool t){
Line u,v;
double m = atan2(b.y-a.y,b.x-a.x), n = atan2(c.y-a.y,c.x-a.x);
u.s = a;
u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2),sin((n+m)/2));
v.s = b;
m = atan2(a.y-b.y,a.x-b.x) , n = atan2(c.y-b.y,c.x-b.x);
v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2),sin((n+m)/2));
p = u.crosspoint(v);
r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
}
//输入
void input(){
p.input();
scanf("%lf",&r);
}
//输出
void output(){
printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",p.x,p.y,r);
}
bool operator == (circle v){
return (p==v.p) && sgn(r-v.r)==0;
}
bool operator < (circle v)const{
return ((p<v.p)||((p==v.p)&&sgn(r-v.r)<0));
}
//面积
double area(){
return pi*r*r;
}
//周长
double circumference(){
return 2*pi*r;
}
//`点和圆的关系`
//`0 圆外`
//`1 圆上`
//`2 圆内`
int relation(Point b){
double dst = b.distance(p);
if(sgn(dst-r) < 0)return 2;
else if(sgn(dst-r)==0)return 1;
return 0;
}
//`线段和圆的关系`
//`比较的是圆心到线段的距离和半径的关系`
int relationseg(Line v){
double dst = v.dispointtoseg(p);
if(sgn(dst-r) < 0)return 2;
else if(sgn(dst-r) == 0)return 1;
return 0;
}
//`直线和圆的关系`
//`比较的是圆心到直线的距离和半径的关系`
int relationline(Line v){
double dst = v.dispointtoline(p);
if(sgn(dst-r) < 0)return 2;
else if(sgn(dst-r) == 0)return 1;
return 0;
}
//`两圆的关系`
//`5 相离`
//`4 外切`
//`3 相交`
//`2 内切`
//`1 内含`
//`需要Point的distance`
//`测试:UVA12304`
int relationcircle(circle v){
double d = p.distance(v.p);
if(sgn(d-r-v.r) > 0)return 5;
if(sgn(d-r-v.r) == 0)return 4;
double l = fabs(r-v.r);
if(sgn(d-r-v.r)<0 && sgn(d-l)>0)return 3;
if(sgn(d-l)==0)return 2;
if(sgn(d-l)<0)return 1;
}
//`求两个圆的交点,返回0表示没有交点,返回1是一个交点,2是两个交点`
//`需要relationcircle`
//`测试:UVA12304`
int pointcrosscircle(circle v,Point &p1,Point &p2){
int rel = relationcircle(v);
if(rel == 1 || rel == 5)return 0;
double d = p.distance(v.p);
double l = (d*d+r*r-v.r*v.r)/(2*d);
double h = sqrt(r*r-l*l);
Point tmp = p + (v.p-p).trunc(l);
p1 = tmp + ((v.p-p).rotleft().trunc(h));
p2 = tmp + ((v.p-p).rotright().trunc(h));
if(rel == 2 || rel == 4)
return 1;
return 2;
}
//`求直线和圆的交点,返回交点个数`
int pointcrossline(Line v,Point &p1,Point &p2){
if(!(*this).relationline(v))return 0;
Point a = v.lineprog(p);
double d = v.dispointtoline(p);
d = sqrt(r*r-d*d);
if(sgn(d) == 0){
p1 = a;
p2 = a;
return 1;
}
p1 = a + (v.e-v.s).trunc(d);
p2 = a - (v.e-v.s).trunc(d);
return 2;
}
//`得到过a,b两点,半径为r1的两个圆`
int gercircle(Point a,Point b,double r1,circle &c1,circle &c2){
circle x(a,r1),y(b,r1);
int t = x.pointcrosscircle(y,c1.p,c2.p);
if(!t)return 0;
c1.r = c2.r = r;
return t;
}
//`得到与直线u相切,过点q,半径为r1的圆`
//`测试:UVA12304`
int getcircle(Line u,Point q,double r1,circle &c1,circle &c2){
double dis = u.dispointtoline(q);
if(sgn(dis-r1*2)>0)return 0;
if(sgn(dis) == 0){
c1.p = q + ((u.e-u.s).rotleft().trunc(r1));
c2.p = q + ((u.e-u.s).rotright().trunc(r1));
c1.r = c2.r = r1;
return 2;
}
Line u1 = Line((u.s + (u.e-u.s).rotleft().trunc(r1)),(u.e + (u.e-u.s).rotleft().trunc(r1)));
Line u2 = Line((u.s + (u.e-u.s).rotright().trunc(r1)),(u.e + (u.e-u.s).rotright().trunc(r1)));
circle cc = circle(q,r1);
Point p1,p2;
if(!cc.pointcrossline(u1,p1,p2))cc.pointcrossline(u2,p1,p2);
c1 = circle(p1,r1);
if(p1 == p2){
c2 = c1;
return 1;
}
c2 = circle(p2,r1);
return 2;
}
//`同时与直线u,v相切,半径为r1的圆`
//`测试:UVA12304`
int getcircle(Line u,Line v,double r1,circle &c1,circle &c2,circle &c3,circle &c4){
if(u.parallel(v))return 0;//两直线平行
Line u1 = Line(u.s + (u.e-u.s).rotleft().trunc(r1),u.e + (u.e-u.s).rotleft().trunc(r1));
Line u2 = Line(u.s + (u.e-u.s).rotright().trunc(r1),u.e + (u.e-u.s).rotright().trunc(r1));
Line v1 = Line(v.s + (v.e-v.s).rotleft().trunc(r1),v.e + (v.e-v.s).rotleft().trunc(r1));
Line v2 = Line(v.s + (v.e-v.s).rotright().trunc(r1),v.e + (v.e-v.s).rotright().trunc(r1));
c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
c1.p = u1.crosspoint(v1);
c2.p = u1.crosspoint(v2);
c3.p = u2.crosspoint(v1);
c4.p = u2.crosspoint(v2);
return 4;
}
//`同时与不相交圆cx,cy相切,半径为r1的圆`
//`测试:UVA12304`
int getcircle(circle cx,circle cy,double r1,circle &c1,circle &c2){
circle x(cx.p,r1+cx.r),y(cy.p,r1+cy.r);
int t = x.pointcrosscircle(y,c1.p,c2.p);
if(!t)return 0;
c1.r = c2.r = r1;
return t;
}

//`过一点作圆的切线(先判断点和圆的关系)`
//`测试:UVA12304`
int tangentline(Point q,Line &u,Line &v){
int x = relation(q);
if(x == 2)return 0;
if(x == 1){
u = Line(q,q + (q-p).rotleft());
v = u;
return 1;
}
double d = p.distance(q);
double l = r*r/d;
double h = sqrt(r*r-l*l);
u = Line(q,p + ((q-p).trunc(l) + (q-p).rotleft().trunc(h)));
v = Line(q,p + ((q-p).trunc(l) + (q-p).rotright().trunc(h)));
return 2;
}
//`求两圆相交的面积`
double areacircle(circle v){
int rel = relationcircle(v);
if(rel >= 4)return 0.0;
if(rel <= 2)return min(area(),v.area());
double d = p.distance(v.p);
double hf = (r+v.r+d)/2.0;
double ss = 2*sqrt(hf*(hf-r)*(hf-v.r)*(hf-d));
double a1 = acos((r*r+d*d-v.r*v.r)/(2.0*r*d));
a1 = a1*r*r;
double a2 = acos((v.r*v.r+d*d-r*r)/(2.0*v.r*d));
a2 = a2*v.r*v.r;
return a1+a2-ss;
}
//`求圆和三角形pab的相交面积`
//`测试:POJ3675 HDU3982 HDU2892`
double areatriangle(Point a,Point b){
if(sgn((p-a)^(p-b)) == 0)return 0.0;
Point q[5];
int len = 0;
q[len++] = a;
Line l(a,b);
Point p1,p2;
if(pointcrossline(l,q[1],q[2])==2){
if(sgn((a-q[1])*(b-q[1]))<0)q[len++] = q[1];
if(sgn((a-q[2])*(b-q[2]))<0)q[len++] = q[2];
}
q[len++] = b;
if(len == 4 && sgn((q[0]-q[1])*(q[2]-q[1]))>0)swap(q[1],q[2]);
double res = 0;
for(int i = 0;i < len-1;i++){
if(relation(q[i])==0||relation(q[i+1])==0){
double arg = p.rad(q[i],q[i+1]);
res += r*r*arg/2.0;
}
else{
res += fabs((q[i]-p)^(q[i+1]-p))/2.0;
}
}
return res;
}
};

/*
* n,p Line l for each side
* input(int _n) - inputs _n size polygon
* add(Point q) - adds a point at end of the list
* getline() - populates line array
* cmp - comparision in convex_hull order
* norm() - sorting in convex_hull order
* getconvex(polygon &convex) - returns convex hull in convex
* Graham(polygon &convex) - returns convex hull in convex
* isconvex() - checks if convex
* relationpoint(Point q) - returns 3 if q is a vertex
* 2 if on a side
* 1 if inside
* 0 if outside
* convexcut(Line u,polygon &po) - left side of u in po
* gercircumference() - returns side length
* getarea() - returns area
* getdir() - returns 0 for cw, 1 for ccw
* getbarycentre() - returns barycenter
*
*/
struct polygon{
int n;
Point p[maxp];
Line l[maxp];
void input(int _n){
n = _n;
for(int i = 0;i < n;i++)
p[i].input();
}
void add(Point q){
p[n++] = q;
}
void getline(){
for(int i = 0;i < n;i++){
l[i] = Line(p[i],p[(i+1)%n]);
}
}
struct cmp{
Point p;
cmp(const Point &p0){p = p0;}
bool operator()(const Point &aa,const Point &bb){
Point a = aa, b = bb;
int d = sgn((a-p)^(b-p));
if(d == 0){
return sgn(a.distance(p)-b.distance(p)) < 0;
}
return d > 0;
}
};
//`进行极角排序`
//`首先需要找到最左下角的点`
//`需要重载号好Point的 < 操作符(min函数要用) `
void norm(){
Point mi = p[0];
for(int i = 1;i < n;i++)mi = min(mi,p[i]);
sort(p,p+n,cmp(mi));
}
//`得到凸包`
//`得到的凸包里面的点编号是0$\sim$n-1的`
//`两种凸包的方法`
//`注意如果有影响,要特判下所有点共点,或者共线的特殊情况`
//`测试 LightOJ1203 LightOJ1239`
void getconvex(polygon &convex){
sort(p,p+n);
convex.n = n;
for(int i = 0;i < min(n,2);i++){
convex.p[i] = p[i];
}
if(convex.n == 2 && (convex.p[0] == convex.p[1]))convex.n--;//特判
if(n <= 2)return;
int &top = convex.n;
top = 1;
for(int i = 2;i < n;i++){
while(top && sgn((convex.p[top]-p[i])^(convex.p[top-1]-p[i])) <= 0)
top--;
convex.p[++top] = p[i];
}
int temp = top;
convex.p[++top] = p[n-2];
for(int i = n-3;i >= 0;i--){
while(top != temp && sgn((convex.p[top]-p[i])^(convex.p[top-1]-p[i])) <= 0)
top--;
convex.p[++top] = p[i];
}
if(convex.n == 2 && (convex.p[0] == convex.p[1]))convex.n--;//特判
convex.norm();//`原来得到的是顺时针的点,排序后逆时针`
}
//`得到凸包的另外一种方法`
//`测试 LightOJ1203 LightOJ1239`
void Graham(polygon &convex){
norm();
int &top = convex.n;
top = 0;
if(n == 1){
top = 1;
convex.p[0] = p[0];
return;
}
if(n == 2){
top = 2;
convex.p[0] = p[0];
convex.p[1] = p[1];
if(convex.p[0] == convex.p[1])top--;
return;
}
convex.p[0] = p[0];
convex.p[1] = p[1];
top = 2;
for(int i = 2;i < n;i++){
while( top > 1 && sgn((convex.p[top-1]-convex.p[top-2])^(p[i]-convex.p[top-2])) <= 0 )
top--;
convex.p[top++] = p[i];
}
if(convex.n == 2 && (convex.p[0] == convex.p[1]))convex.n--;//特判
}
//`判断是不是凸的`
bool isconvex(){
bool s[2];
memset(s,false,sizeof(s));
for(int i = 0;i < n;i++){
int j = (i+1)%n;
int k = (j+1)%n;
s[sgn((p[j]-p[i])^(p[k]-p[i]))+1] = true;
if(s[0] && s[2])return false;
}
return true;
}
//`判断点和任意多边形的关系`
//` 3 点上`
//` 2 边上`
//` 1 内部`
//` 0 外部`
int relationpoint(Point q){
for(int i = 0;i < n;i++){
if(p[i] == q)return 3;
}
getline();
for(int i = 0;i < n;i++){
if(l[i].pointonseg(q))return 2;
}
int cnt = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
int j = (i+1)%n;
int k = sgn((q-p[j])^(p[i]-p[j]));
int u = sgn(p[i].y-q.y);
int v = sgn(p[j].y-q.y);
if(k > 0 && u < 0 && v >= 0)cnt++;
if(k < 0 && v < 0 && u >= 0)cnt--;
}
return cnt != 0;
}
//`直线u切割凸多边形左侧`
//`注意直线方向`
//`测试:HDU3982`
void convexcut(Line u,polygon &po){
int &top = po.n;//注意引用
top = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
int d1 = sgn((u.e-u.s)^(p[i]-u.s));
int d2 = sgn((u.e-u.s)^(p[(i+1)%n]-u.s));
if(d1 >= 0)po.p[top++] = p[i];
if(d1*d2 < 0)po.p[top++] = u.crosspoint(Line(p[i],p[(i+1)%n]));
}
}
//`得到周长`
//`测试 LightOJ1239`
double getcircumference(){
double sum = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
sum += p[i].distance(p[(i+1)%n]);
}
return sum;
}
//`得到面积`
double getarea(){
double sum = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
sum += (p[i]^p[(i+1)%n]);
}
return fabs(sum)/2;
}
//`得到方向`
//` 1 表示逆时针,0表示顺时针`
bool getdir(){
double sum = 0;
for(int i = 0;i < n;i++)
sum += (p[i]^p[(i+1)%n]);
if(sgn(sum) > 0)return 1;
return 0;
}
//`得到重心`
Point getbarycentre(){
Point ret(0,0);
double area = 0;
for(int i = 1;i < n-1;i++){
double tmp = (p[i]-p[0])^(p[i+1]-p[0]);
if(sgn(tmp) == 0)continue;
area += tmp;
ret.x += (p[0].x+p[i].x+p[i+1].x)/3*tmp;
ret.y += (p[0].y+p[i].y+p[i+1].y)/3*tmp;
}
if(sgn(area)) ret = ret/area;
return ret;
}
//`多边形和圆交的面积`
//`测试:POJ3675 HDU3982 HDU2892`
double areacircle(circle c){
double ans = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
int j = (i+1)%n;
if(sgn( (p[j]-c.p)^(p[i]-c.p) ) >= 0)
ans += c.areatriangle(p[i],p[j]);
else ans -= c.areatriangle(p[i],p[j]);
}
return fabs(ans);
}
//`多边形和圆关系`
//` 2 圆完全在多边形内`
//` 1 圆在多边形里面,碰到了多边形边界`
//` 0 其它`
int relationcircle(circle c){
getline();
int x = 2;
if(relationpoint(c.p) != 1)return 0;//圆心不在内部
for(int i = 0;i < n;i++){
if(c.relationseg(l[i])==2)return 0;
if(c.relationseg(l[i])==1)x = 1;
}
return x;
}
};
//`AB X AC`
double cross(Point A,Point B,Point C){
return (B-A)^(C-A);
}
//`AB*AC`
double dot(Point A,Point B,Point C){
return (B-A)*(C-A);
}
//`最小矩形面积覆盖`
//` A 必须是凸包(而且是逆时针顺序)`
//` 测试 UVA 10173`
double minRectangleCover(polygon A){
//`要特判A.n < 3的情况`
if(A.n < 3)return 0.0;
A.p[A.n] = A.p[0];
double ans = -1;
int r = 1, p = 1, q;
for(int i = 0;i < A.n;i++){
//`卡出离边A.p[i] - A.p[i+1]最远的点`
while( sgn( cross(A.p[i],A.p[i+1],A.p[r+1]) - cross(A.p[i],A.p[i+1],A.p[r]) ) >= 0 )
r = (r+1)%A.n;
//`卡出A.p[i] - A.p[i+1]方向上正向n最远的点`
while(sgn( dot(A.p[i],A.p[i+1],A.p[p+1]) - dot(A.p[i],A.p[i+1],A.p[p]) ) >= 0 )
p = (p+1)%A.n;
if(i == 0)q = p;
//`卡出A.p[i] - A.p[i+1]方向上负向最远的点`
while(sgn(dot(A.p[i],A.p[i+1],A.p[q+1]) - dot(A.p[i],A.p[i+1],A.p[q])) <= 0)
q = (q+1)%A.n;
double d = (A.p[i] - A.p[i+1]).len2();
double tmp = cross(A.p[i],A.p[i+1],A.p[r]) *
(dot(A.p[i],A.p[i+1],A.p[p]) - dot(A.p[i],A.p[i+1],A.p[q]))/d;
if(ans < 0 || ans > tmp)ans = tmp;
}
return ans;
}

//`直线切凸多边形`
//`多边形是逆时针的,在q1q2的左侧`
//`测试:HDU3982`
vector<Point> convexCut(const vector<Point> &ps,Point q1,Point q2){
vector<Point>qs;
int n = ps.size();
for(int i = 0;i < n;i++){
Point p1 = ps[i], p2 = ps[(i+1)%n];
int d1 = sgn((q2-q1)^(p1-q1)), d2 = sgn((q2-q1)^(p2-q1));
if(d1 >= 0)
qs.push_back(p1);
if(d1 * d2 < 0)
qs.push_back(Line(p1,p2).crosspoint(Line(q1,q2)));
}
return qs;
}
//`半平面交`
//`测试 POJ3335 POJ1474 POJ1279`
//***************************
struct halfplane:public Line{
double angle;
halfplane(){}
//`表示向量s->e逆时针(左侧)的半平面`
halfplane(Point _s,Point _e){
s = _s;
e = _e;
}
halfplane(Line v){
s = v.s;
e = v.e;
}
void calcangle(){
angle = atan2(e.y-s.y,e.x-s.x);
}
bool operator <(const halfplane &b)const{
return angle < b.angle;
}
};
struct halfplanes{
int n;
halfplane hp[maxp];
Point p[maxp];
int que[maxp];
int st,ed;
void push(halfplane tmp){
hp[n++] = tmp;
}
//去重
void unique(){
int m = 1;
for(int i = 1;i < n;i++){
if(sgn(hp[i].angle-hp[i-1].angle) != 0)
hp[m++] = hp[i];
else if(sgn( (hp[m-1].e-hp[m-1].s)^(hp[i].s-hp[m-1].s) ) > 0)
hp[m-1] = hp[i];
}
n = m;
}
bool halfplaneinsert(){
for(int i = 0;i < n;i++)hp[i].calcangle();
sort(hp,hp+n);
unique();
que[st=0] = 0;
que[ed=1] = 1;
p[1] = hp[0].crosspoint(hp[1]);
for(int i = 2;i < n;i++){
while(st<ed && sgn((hp[i].e-hp[i].s)^(p[ed]-hp[i].s))<0)ed--;
while(st<ed && sgn((hp[i].e-hp[i].s)^(p[st+1]-hp[i].s))<0)st++;
que[++ed] = i;
if(hp[i].parallel(hp[que[ed-1]]))return false;
p[ed]=hp[i].crosspoint(hp[que[ed-1]]);
}
while(st<ed && sgn((hp[que[st]].e-hp[que[st]].s)^(p[ed]-hp[que[st]].s))<0)ed--;
while(st<ed && sgn((hp[que[ed]].e-hp[que[ed]].s)^(p[st+1]-hp[que[ed]].s))<0)st++;
if(st+1>=ed)return false;
return true;
}
//`得到最后半平面交得到的凸多边形`
//`需要先调用halfplaneinsert() 且返回true`
void getconvex(polygon &con){
p[st] = hp[que[st]].crosspoint(hp[que[ed]]);
con.n = ed-st+1;
for(int j = st,i = 0;j <= ed;i++,j++)
con.p[i] = p[j];
}
};
//***************************

const int maxn = 1010;
struct circles{
circle c[maxn];
double ans[maxn];//`ans[i]表示被覆盖了i次的面积`
double pre[maxn];
int n;
circles(){}
void add(circle cc){
c[n++] = cc;
}
//`x包含在y中`
bool inner(circle x,circle y){
if(x.relationcircle(y) != 1)return 0;
return sgn(x.r-y.r)<=0?1:0;
}
//圆的面积并去掉内含的圆
void init_or(){
bool mark[maxn] = {0};
int i,j,k=0;
for(i = 0;i < n;i++){
for(j = 0;j < n;j++)
if(i != j && !mark[j]){
if( (c[i]==c[j])||inner(c[i],c[j]) )break;
}
if(j < n)mark[i] = 1;
}
for(i = 0;i < n;i++)
if(!mark[i])
c[k++] = c[i];
n = k;
}
//`圆的面积交去掉内含的圆`
void init_add(){
int i,j,k;
bool mark[maxn] = {0};
for(i = 0;i < n;i++){
for(j = 0;j < n;j++)
if(i != j && !mark[j]){
if( (c[i]==c[j])||inner(c[j],c[i]) )break;
}
if(j < n)mark[i] = 1;
}
for(i = 0;i < n;i++)
if(!mark[i])
c[k++] = c[i];
n = k;
}
//`半径为r的圆,弧度为th对应的弓形的面积`
double areaarc(double th,double r){
return 0.5*r*r*(th-sin(th));
}
//`测试SPOJVCIRCLES SPOJCIRUT`
//`SPOJVCIRCLES求n个圆并的面积,需要加上init\_or()去掉重复圆(否则WA)`
//`SPOJCIRUT 是求被覆盖k次的面积,不能加init\_or()`
//`对于求覆盖多少次面积的问题,不能解决相同圆,而且不能init\_or()`
//`求多圆面积并,需要init\_or,其中一个目的就是去掉相同圆`
void getarea(){
memset(ans,0,sizeof(ans));
vector<pair<double,int> >v;
for(int i = 0;i < n;i++){
v.clear();
v.push_back(make_pair(-pi,1));
v.push_back(make_pair(pi,-1));
for(int j = 0;j < n;j++)
if(i != j){
Point q = (c[j].p - c[i].p);
double ab = q.len(),ac = c[i].r, bc = c[j].r;
if(sgn(ab+ac-bc)<=0){
v.push_back(make_pair(-pi,1));
v.push_back(make_pair(pi,-1));
continue;
}
if(sgn(ab+bc-ac)<=0)continue;
if(sgn(ab-ac-bc)>0)continue;
double th = atan2(q.y,q.x), fai = acos((ac*ac+ab*ab-bc*bc)/(2.0*ac*ab));
double a0 = th-fai;
if(sgn(a0+pi)<0)a0+=2*pi;
double a1 = th+fai;
if(sgn(a1-pi)>0)a1-=2*pi;
if(sgn(a0-a1)>0){
v.push_back(make_pair(a0,1));
v.push_back(make_pair(pi,-1));
v.push_back(make_pair(-pi,1));
v.push_back(make_pair(a1,-1));
}
else{
v.push_back(make_pair(a0,1));
v.push_back(make_pair(a1,-1));
}
}
sort(v.begin(),v.end());
int cur = 0;
for(int j = 0;j < v.size();j++){
if(cur && sgn(v[j].first-pre[cur])){
ans[cur] += areaarc(v[j].first-pre[cur],c[i].r);
ans[cur] += 0.5*(Point(c[i].p.x+c[i].r*cos(pre[cur]),c[i].p.y+c[i].r*sin(pre[cur]))^Point(c[i].p.x+c[i].r*cos(v[j].first),c[i].p.y+c[i].r*sin(v[j].first)));
}
cur += v[j].second;
pre[cur] = v[j].first;
}
}
for(int i = 1;i < n;i++)
ans[i] -= ans[i+1];
}
};
  1. 三维计算几何
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const double eps = 1e-8;
int sgn(double x){
if(fabs(x) < eps)return 0;
if(x < 0)return -1;
else return 1;
}
struct Point3{
double x,y,z;
Point3(double _x = 0,double _y = 0,double _z = 0){
x = _x;
y = _y;
z = _z;
}
void input(){
scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);
}
void output(){
scanf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",x,y,z);
}
bool operator ==(const Point3 &b)const{
return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0 && sgn(z-b.z) == 0;
}
bool operator <(const Point3 &b)const{
return sgn(x-b.x)==0?(sgn(y-b.y)==0?sgn(z-b.z)<0:y<b.y):x<b.x;
}
double len(){
return sqrt(x*x+y*y+z*z);
}
double len2(){
return x*x+y*y+z*z;
}
double distance(const Point3 &b)const{
return sqrt((x-b.x)*(x-b.x)+(y-b.y)*(y-b.y)+(z-b.z)*(z-b.z));
}
Point3 operator -(const Point3 &b)const{
return Point3(x-b.x,y-b.y,z-b.z);
}
Point3 operator +(const Point3 &b)const{
return Point3(x+b.x,y+b.y,z+b.z);
}
Point3 operator *(const double &k)const{
return Point3(x*k,y*k,z*k);
}
Point3 operator /(const double &k)const{
return Point3(x/k,y/k,z/k);
}
//点乘
double operator *(const Point3 &b)const{
return x*b.x+y*b.y+z*b.z;
}
//叉乘
Point3 operator ^(const Point3 &b)const{
return Point3(y*b.z-z*b.y,z*b.x-x*b.z,x*b.y-y*b.x);
}
double rad(Point3 a,Point3 b){
Point3 p = (*this);
return acos( ( (a-p)*(b-p) )/ (a.distance(p)*b.distance(p)) );
}
//变换长度
Point3 trunc(double r){
double l = len();
if(!sgn(l))return *this;
r /= l;
return Point3(x*r,y*r,z*r);
}
};
struct Line3
{
Point3 s,e;
Line3(){}
Line3(Point3 _s,Point3 _e)
{
s = _s;
e = _e;
}
bool operator ==(const Line3 v)
{
return (s==v.s)&&(e==v.e);
}
void input()
{
s.input();
e.input();
}
double length()
{
return s.distance(e);
}
//点到直线距离
double dispointtoline(Point3 p)
{
return ((e-s)^(p-s)).len()/s.distance(e);
}
//点到线段距离
double dispointtoseg(Point3 p)
{
if(sgn((p-s)*(e-s)) < 0 || sgn((p-e)*(s-e)) < 0)
return min(p.distance(s),e.distance(p));
return dispointtoline(p);
}
//`返回点p在直线上的投影`
Point3 lineprog(Point3 p)
{
return s + ( ((e-s)*((e-s)*(p-s)))/((e-s).len2()) );
}
//`p绕此向量逆时针arg角度`
Point3 rotate(Point3 p,double ang)
{
if(sgn(((s-p)^(e-p)).len()) == 0)return p;
Point3 f1 = (e-s)^(p-s);
Point3 f2 = (e-s)^(f1);
double len = ((s-p)^(e-p)).len()/s.distance(e);
f1 = f1.trunc(len); f2 = f2.trunc(len);
Point3 h = p+f2;
Point3 pp = h+f1;
return h + ((p-h)*cos(ang)) + ((pp-h)*sin(ang));
}
//`点在直线上`
bool pointonseg(Point3 p)
{
return sgn( ((s-p)^(e-p)).len() ) == 0 && sgn((s-p)*(e-p)) == 0;
}
};
struct Plane
{
Point3 a,b,c,o;//`平面上的三个点,以及法向量`
Plane(){}
Plane(Point3 _a,Point3 _b,Point3 _c)
{
a = _a;
b = _b;
c = _c;
o = pvec();
}
Point3 pvec()
{
return (b-a)^(c-a);
}
//`ax+by+cz+d = 0`
Plane(double _a,double _b,double _c,double _d)
{
o = Point3(_a,_b,_c);
if(sgn(_a) != 0)
a = Point3((-_d-_c-_b)/_a,1,1);
else if(sgn(_b) != 0)
a = Point3(1,(-_d-_c-_a)/_b,1);
else if(sgn(_c) != 0)
a = Point3(1,1,(-_d-_a-_b)/_c);
}
//`点在平面上的判断`
bool pointonplane(Point3 p)
{
return sgn((p-a)*o) == 0;
}
//`两平面夹角`
double angleplane(Plane f)
{
return acos(o*f.o)/(o.len()*f.o.len());
}
//`平面和直线的交点,返回值是交点个数`
int crossline(Line3 u,Point3 &p)
{
double x = o*(u.e-a);
double y = o*(u.s-a);
double d = x-y;
if(sgn(d) == 0)return 0;
p = ((u.s*x)-(u.e*y))/d;
return 1;
}
//`点到平面最近点(也就是投影)`
Point3 pointtoplane(Point3 p)
{
Line3 u = Line3(p,p+o);
crossline(u,p);
return p;
}
//`平面和平面的交线`
int crossplane(Plane f,Line3 &u)
{
Point3 oo = o^f.o;
Point3 v = o^oo;
double d = fabs(f.o*v);
if(sgn(d) == 0)return 0;
Point3 q = a + (v*(f.o*(f.a-a))/d);
u = Line3(q,q+oo);
return 1;
}
};

杂项

竞赛常用快速读入骚操作

在读入/输出大量(一般10710^7量级以上)的数据,cin/cout会耗费大量的时间去同步scanf/printf的缓冲区,当然,有时候甚至scanf/printf也不够用。

  1. 关闭iostream同步流
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std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
// 如果编译开启了 C++11 或更高版本,建议使用 std::cin.tie(nullptr);
// 注意,此后不可和scanf/printf混用
  1. 普通快速读写
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inline void read_int(int &X) {
X = 0; int w = 0; char ch = 0;
while(!isdigit(ch)) w |= ch=='-', ch = getchar();
while( isdigit(ch)) X = (X<<3)+ (X<<1) + (ch-48), ch = getchar();
X = w ? -X : X;
}

inline void write_int(int x) {
static int sta[35];
int top = 0;
do {
sta[top++] = x % 10, x /= 10;
} while(x);
while(top) putchar(sta[--top] + 48);
}
  1. 利用fread快读
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namespace fastIO {
#define BUF_SIZE 100000
//fread -> read
bool IOerror = 0;
inline char nc() {
static char buf[BUF_SIZE], *p1 = buf + BUF_SIZE, *pend = buf + BUF_SIZE;
if (p1 == pend) {
p1 = buf;
pend = buf + fread(buf, 1, BUF_SIZE, stdin);
if (pend == p1) {
IOerror = 1;
return -1;
}
}
return *p1++;
}
inline bool blank(char ch) {
return ch == ' ' || ch == '\n' || ch == '\r' || ch == '\t';
}
inline void read(int &x) {
char ch;
while (blank(ch = nc()));
if (IOerror) return;
for (x = ch - '0'; (ch = nc()) >= '0' && ch <= '9'; x = x * 10 + ch - '0');
}
#undef BUF_SIZE
};
using namespace fastIO;
  1. Real FastIO(抄来的)
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namespace fastIO{
#define BUF_SIZE 100000
#define OUT_SIZE 100000
#define ll long long
//fread->read
bool IOerror=0;
inline char nc(){
static char buf[BUF_SIZE],*p1=buf+BUF_SIZE,*pend=buf+BUF_SIZE;
if (p1==pend){
p1=buf; pend=buf+fread(buf,1,BUF_SIZE,stdin);
if (pend==p1){IOerror=1;return -1;}
//{printf("IO error!\n");system("pause");for (;;);exit(0);}
}
return *p1++;
}
inline bool blank(char ch){return ch==' '||ch=='\n'||ch=='\r'||ch=='\t';}
inline void read(int &x){
bool sign=0; char ch=nc(); x=0;
for (;blank(ch);ch=nc());
if (IOerror)return;
if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())x=x*10+ch-'0';
if (sign)x=-x;
}
inline void read(ll &x){
bool sign=0; char ch=nc(); x=0;
for (;blank(ch);ch=nc());
if (IOerror)return;
if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())x=x*10+ch-'0';
if (sign)x=-x;
}
inline void read(double &x){
bool sign=0; char ch=nc(); x=0;
for (;blank(ch);ch=nc());
if (IOerror)return;
if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())x=x*10+ch-'0';
if (ch=='.'){
double tmp=1; ch=nc();
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())tmp/=10.0,x+=tmp*(ch-'0');
}
if (sign)x=-x;
}
inline void read(char *s){
char ch=nc();
for (;blank(ch);ch=nc());
if (IOerror)return;
for (;!blank(ch)&&!IOerror;ch=nc())*s++=ch;
*s=0;
}
inline void read(char &c){
for (c=nc();blank(c);c=nc());
if (IOerror){c=-1;return;}
}
//fwrite->write
struct Ostream_fwrite{
char *buf,*p1,*pend;
Ostream_fwrite(){buf=new char[BUF_SIZE];p1=buf;pend=buf+BUF_SIZE;}
void out(char ch){
if (p1==pend){
fwrite(buf,1,BUF_SIZE,stdout);p1=buf;
}
*p1++=ch;
}
void print(int x){
static char s[15],*s1;s1=s;
if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
while(s1--!=s)out(*s1);
}
void println(int x){
static char s[15],*s1;s1=s;
if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
while(s1--!=s)out(*s1); out('\n');
}
void print(ll x){
static char s[25],*s1;s1=s;
if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
while(s1--!=s)out(*s1);
}
void println(ll x){
static char s[25],*s1;s1=s;
if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
while(s1--!=s)out(*s1); out('\n');
}
void print(double x,int y){
static ll mul[]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,
1000000000,10000000000LL,100000000000LL,1000000000000LL,10000000000000LL,
100000000000000LL,1000000000000000LL,10000000000000000LL,100000000000000000LL};
if (x<-1e-12)out('-'),x=-x;x*=mul[y];
ll x1=(ll)floor(x); if (x-floor(x)>=0.5)++x1;
ll x2=x1/mul[y],x3=x1-x2*mul[y]; print(x2);
if (y>0){out('.'); for (size_t i=1;i<y&&x3*mul[i]<mul[y];out('0'),++i); print(x3);}
}
void println(double x,int y){print(x,y);out('\n');}
void print(char *s){while (*s)out(*s++);}
void println(char *s){while (*s)out(*s++);out('\n');}
void flush(){if (p1!=buf){fwrite(buf,1,p1-buf,stdout);p1=buf;}}
~Ostream_fwrite(){flush();}
}Ostream;
inline void print(int x){Ostream.print(x);}
inline void println(int x){Ostream.println(x);}
inline void print(char x){Ostream.out(x);}
inline void println(char x){Ostream.out(x);Ostream.out('\n');}
inline void print(ll x){Ostream.print(x);}
inline void println(ll x){Ostream.println(x);}
inline void print(double x,int y){Ostream.print(x,y);} //y为小数点后几位
inline void println(double x,int y){Ostream.println(x,y);}
inline void print(char *s){Ostream.print(s);}
inline void println(char *s){Ostream.println(s);}
inline void println(){Ostream.out('\n');}
inline void flush(){Ostream.flush();} //清空
#undef ll
#undef OUT_SIZE
#undef BUF_SIZE
};

C++高精度模板

  1. 封装类版
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#define MAXN 9999
// MAXN 是一位中最大的数字
#define MAXSIZE 10024
// MAXSIZE 是位数
#define DLEN 4
// DLEN 记录压几位
struct Big {
int a[MAXSIZE], len;
bool flag; //标记符号'-'
Big() {
len = 1;
memset(a, 0, sizeof a);
flag = 0;
}
Big(const int);
Big(const char*);
Big(const Big&);
Big& operator=(const Big&); //注意这里operator有&,因为赋值有修改……
//由于OI中要求效率
//此处不使用泛型函数
//故不重载
// istream& operator>>(istream&, BigNum&); //重载输入运算符
// ostream& operator<<(ostream&, BigNum&); //重载输出运算符
Big operator+(const Big&) const;
Big operator-(const Big&) const;
Big operator*(const Big&)const;
Big operator/(const int&) const;
// TODO: Big / Big;
Big operator^(const int&) const;
// TODO: Big ^ Big;

// TODO: Big 位运算;

int operator%(const int&) const;
// TODO: Big ^ Big;
bool operator<(const Big&) const;
bool operator<(const int& t) const;
inline void print();
};
// README::不要随随便便把参数都变成引用,那样没办法传值
Big::Big(const int b) {
int c, d = b;
len = 0;
// memset(a,0,sizeof a);
CLR(a);
while (d > MAXN) {
c = d - (d / (MAXN + 1) * (MAXN + 1));
d = d / (MAXN + 1);
a[len++] = c;
}
a[len++] = d;
}
Big::Big(const char* s) {
int t, k, index, l;
CLR(a);
l = strlen(s);
len = l / DLEN;
if (l % DLEN) ++len;
index = 0;
for (int i = l - 1; i >= 0; i -= DLEN) {
t = 0;
k = i - DLEN + 1;
if (k < 0) k = 0;
g(j, k, i) t = t * 10 + s[j] - '0';
a[index++] = t;
}
}
Big::Big(const Big& T) : len(T.len) {
CLR(a);
f(i, 0, len) a[i] = T.a[i];
// TODO:重载此处?
}
Big& Big::operator=(const Big& T) {
CLR(a);
len = T.len;
f(i, 0, len) a[i] = T.a[i];
return *this;
}
Big Big::operator+(const Big& T) const {
Big t(*this);
int big = len;
if (T.len > len) big = T.len;
f(i, 0, big) {
t.a[i] += T.a[i];
if (t.a[i] > MAXN) {
++t.a[i + 1];
t.a[i] -= MAXN + 1;
}
}
if (t.a[big])
t.len = big + 1;
else
t.len = big;
return t;
}
Big Big::operator-(const Big& T) const {
int big;
bool ctf;
Big t1, t2;
if (*this < T) {
t1 = T;
t2 = *this;
ctf = 1;
} else {
t1 = *this;
t2 = T;
ctf = 0;
}
big = t1.len;
int j = 0;
f(i, 0, big) {
if (t1.a[i] < t2.a[i]) {
j = i + 1;
while (t1.a[j] == 0) ++j;
--t1.a[j--];
// WTF?
while (j > i) t1.a[j--] += MAXN;
t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
} else
t1.a[i] -= t2.a[i];
}
t1.len = big;
while (t1.len > 1 && t1.a[t1.len - 1] == 0) {
--t1.len;
--big;
}
if (ctf) t1.a[big - 1] = -t1.a[big - 1];
return t1;
}
Big Big::operator*(const Big& T) const {
Big res;
int up;
int te, tee;
f(i, 0, len) {
up = 0;
f(j, 0, T.len) {
te = a[i] * T.a[j] + res.a[i + j] + up;
if (te > MAXN) {
tee = te - te / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
up = te / (MAXN + 1);
res.a[i + j] = tee;
} else {
up = 0;
res.a[i + j] = te;
}
}
if (up) res.a[i + T.len] = up;
}
res.len = len + T.len;
while (res.len > 1 && res.a[res.len - 1] == 0) --res.len;
return res;
}
Big Big::operator/(const int& b) const {
Big res;
int down = 0;
gd(i, len - 1, 0) {
res.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1) / b);
down = a[i] + down * (MAXN + 1) - res.a[i] * b;
}
res.len = len;
while (res.len > 1 && res.a[res.len - 1] == 0) --res.len;
return res;
}
int Big::operator%(const int& b) const {
int d = 0;
gd(i, len - 1, 0) d = (d * (MAXN + 1) % b + a[i]) % b;
return d;
}
Big Big::operator^(const int& n) const {
Big t(n), res(1);
int y = n;
while (y) {
if (y & 1) res = res * t;
t = t * t;
y >>= 1;
}
return res;
}
bool Big::operator<(const Big& T) const {
int ln;
if (len < T.len) return 233;
if (len == T.len) {
ln = len - 1;
while (ln >= 0 && a[ln] == T.a[ln]) --ln;
if (ln >= 0 && a[ln] < T.a[ln]) return 233;
return 0;
}
return 0;
}
inline bool Big::operator<(const int& t) const {
Big tee(t);
return *this < tee;
}
inline void Big::print() {
printf("%d", a[len - 1]);
gd(i, len - 2, 0) { printf("%04d", a[i]); }
}

inline void print(Big s) {
// s不要是引用,要不然你怎么print(a * b);
int len = s.len;
printf("%d", s.a[len - 1]);
gd(i, len - 2, 0) { printf("%04d", s.a[i]); }
}
char s[100024];
  1. 简约版
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static const int LEN = 1004;

int a[LEN], b[LEN], c[LEN], d[LEN];

void clear(int a[LEN]) {
for (int i = 0; i < LEN; ++i) a[i] = 0;
}

void read(int a[LEN]) {
static char s[LEN + 1];
scanf("%s", s);

clear(a);

int len = strlen(s);
for (int i = 0; i < len; ++i) a[len - i - 1] = s[i] - '0';
}

void print(int a[LEN]) {
int i;
for (i = LEN - 1; i >= 1; --i)
if (a[i] != 0) break;
for (; i >= 0; --i) putchar(a[i] + '0');
putchar('\n');
}

void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {
clear(c);

for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
c[i] += a[i] + b[i];
if (c[i] >= 10) {
c[i + 1] += 1;
c[i] -= 10;
}
}
}

void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {
clear(c);

for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
c[i] += a[i] - b[i];
if (c[i] < 0) {
c[i + 1] -= 1;
c[i] += 10;
}
}
}

void mul(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {
clear(c);

for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
for (int j = 0; j <= i; ++j) c[i] += a[j] * b[i - j];

if (c[i] >= 10) {
c[i + 1] += c[i] / 10;
c[i] %= 10;
}
}
}

inline bool greater_eq(int a[LEN], int b[LEN], int last_dg, int len) {
if (a[last_dg + len] != 0) return true;
for (int i = len - 1; i >= 0; --i) {
if (a[last_dg + i] > b[i]) return true;
if (a[last_dg + i] < b[i]) return false;
}
return true;
}

void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) {
clear(c);
clear(d);

int la, lb;
for (la = LEN - 1; la > 0; --la)
if (a[la - 1] != 0) break;
for (lb = LEN - 1; lb > 0; --lb)
if (b[lb - 1] != 0) break;
if (lb == 0) {
puts("> <");
return;
}

for (int i = 0; i < la; ++i) d[i] = a[i];
for (int i = la - lb; i >= 0; --i) {
while (greater_eq(d, b, i, lb)) {
for (int j = 0; j < lb; ++j) {
d[i + j] -= b[j];
if (d[i + j] < 0) {
d[i + j + 1] -= 1;
d[i + j] += 10;
}
}
c[i] += 1;
}
}
}

Java大整数

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import java.util.*;
import java.math.*;

public class BigInt {
static Scanner in = new Scanner(System.in); // 定义输入对象
public static void main(String[] args) {
BigInteger bigInt_1 = new BigInteger("100");
BigInteger bigInt_2 = BigInteger.valueOf(123);
//两种定义方式,建议使用第一种
bigInt_1.add(bigInt_2); // 加法
bigInt_1.subtract(bigInt_2); // 减法
bigInt_1.multiply(bigInt_2); // 乘法
bigInt_1.divide(bigInt_2);// 除法,向下取整
bigInt_1.divideAndRemainder(bigInt_2);
// 返回一个BigInteger[],包含商和余数
bigInt_1.remainder(bigInt_2); // 取余数,与this同符号
bigInt_1.mod(bigInt_2); // 取模,模数只能为正整数
bigInt_1.pow(10); // a^b
bigInt_1.gcd(bigInt_2); // 最大公约数
bigInt_1.compareTo(bigInt_2);
// 比较大小,<0表示this小,0表示相等,>0表示this大
bigInt_1.equals(bigInt_2); // 真值为相等
bigInt_1.negate(); // -a
bigInt_1.abs(); // 绝对值
bigInt_1.min(bigInt_2); // 最小值
bigInt_1.max(bigInt_2); // 最大值
BigInteger a = in.nextBigInteger(); // 读入
System.out.println(bigInt_1); // 输出
}
}

Java大实数

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import java.util.*;
import java.math.*;

public class Big {
static Scanner in = new Scanner(System.in); // 定义输入对象
public static void main(String[] args) {
BigDecimal bigDec_1 = new BigDecimal("123.1");
BigDecimal bigDec_2 = BigDecimal.valueOf(233.213);
// 唯有除法与BigInteger不同,无限小数需要规定保留位数
int scale = 3; // 保留位数
bigDec_1.divide(bigDec_2, scale, RoundingMode.HALF_UP);
/*
第三个参数为保留方式,有以下几种:
CEILING 正无穷大方向取整
FLOOR 负无穷大方向取整
DOWN 向 0 的方向取整
UP 正数向正无穷大取整,负数向负无穷大取整
HALF_UP 常用的4舍5入
HALF_DOWN 6,7,8,9 向上取整
HALF_EVEN 小数位是5时,判断整数部分是奇数就进位,6,7,8,9 进位
*/
}
}

手动扩栈

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#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") 

对拍

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
// For Windows
while (true) {
system("data.exe > data.in");
system("std.exe < data.in > std.out");
system("test.exe < data.in > test.out");
if (system("fc std.out test.out")) {
break;
}
}
return 0;
}
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
// For Linux
while (true) {
system("./data > data.in");
system("./std < data.in > std.out");
system("./test < data.in > test.out");
if (system("diff std.out test.out")) {
break ;
}
}
return 0;
}